Числа x1 и x2 являются корнями уравнения x^2+6x+3=0.Найдите значение выражения; а)x1+x2 б)x1x2 в)x1/x2+x2/x1+1

Для уравнения $x^2+6x+3=0$ можем использовать свойства корней квадратного уравнения.

а) Сумма корней $x_1+x_2=-b/a=-6/1=-6$.

б) Произведение корней $x_1{x}_2=c/a=3/1=3$.

в) Выражение $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+1=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1{x}_2}+1$. Для нахождения $x_1^2+x_2^2$ используем: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=(-6{)}^2-2\cdot 3=36-6=30.$ Тогда: $\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1{x}_2}+1=\frac{30}{3}+1=10+1=11.$

Ответы: а) -6, б) 3, в) 11.

Давайте разберем задачу по шагам.

У нас есть квадратное уравнение:
$x^2+6x+3=0.$
Необходимо найти значения нескольких выражений, связанных с корнями $x_1$ и $x_2$.

1. Используем теорему Виета

Согласно теореме Виета для квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$, сумма корней $x_1+x_2$ равна $-\frac{b}{a}$, а произведение корней $x_1\cdot x_2$ равно $\frac{c}{a}$, где $a$, $b$, $c$ — коэффициенты уравнения.

Для нашего уравнения:
$a=1,b=6,c=3.$

а) Найдем сумму корней $(x_1+x_2$):

Сумма корней выражается как: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}.$ Подставляем значения коэффициентов: $x_1+x_2=-\frac{6}{1}=-6.$

б) Найдем произведение корней $(x_1\cdot x_2$):

Произведение корней выражается как: $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}.$ Подставляем значения коэффициентов: $x_1\cdot x_2=\frac{3}{1}=3.$

в) Найдем значение выражения $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+1$:

Упростим выражение. Для начала заметим, что: $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1{x}_2}.$ Добавляем 1: $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+1=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1{x}_2}+1.$

Теперь найдем $x_1^2+x_2^2$. Используем формулу: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2.$ Подставляем значения: $x_1^2+x_2^2=(-6{)}^2-2\cdot 3=36-6=30.$

Теперь подставляем в выражение: $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+1=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1{x}_2}+1=\frac{30}{3}+1=10+1=11.$

Окончательные ответы:

а) $x_1+x_2=-6$,
б) $x_1\cdot x_2=3$,
в) $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+1=11.$

Чтобы решить данное уравнение $x^2+6x+3=0$, сначала найдем его корни, используя формулу квадратного уравнения:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Где $a=1$, $b=6$, $c=3$. Подставим эти значения в формулу:

1. Вычислим дискриминант $D$:

$D=b^2-4ac=6^2-4\cdot 1\cdot 3=36-12=24$

1. Теперь подставим значения в формулу для корней:

$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{24}}{2\cdot 1}=\frac{-6\pm 2\sqrt{6}}{2}=-3\pm \sqrt{6}$

Таким образом, корни уравнения:

$x_1=-3+\sqrt{6},x_2=-3-\sqrt{6}$

Теперь найдем значения выражений, указанных в вопросе.

а) $x_1+x_2$

Согласно свойствам корней квадратного уравнения, сумма корней равна $-\frac{b}{a}$:

$x_1+x_2=-\frac{6}{1}=-6$

б) $x_1{x}_2$

Произведение корней квадратного уравнения равно $\frac{c}{a}$:

$x_1{x}_2=\frac{3}{1}=3$

в) $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+1$

Сначала найдем $\frac{x_1}{x_2}$ и $\frac{x_2}{x_1}$:

$\frac{x_1}{x_2}=\frac{-3+\sqrt{6}}{-3-\sqrt{6}}\text{и}\frac{x_2}{x_1}=\frac{-3-\sqrt{6}}{-3+\sqrt{6}}$

Теперь вычислим $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}$:

$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{(-3+\sqrt{6}{)}^2+(-3-\sqrt{6}{)}^2}{(-3-\sqrt{6})(-3+\sqrt{6})}$

В числителе:

$(-3+\sqrt{6}{)}^2+(-3-\sqrt{6}{)}^2=(9-6\sqrt{6}+6)+(9+6\sqrt{6}+6)=18+12=30$

В знаменателе:

$(-3-\sqrt{6})(-3+\sqrt{6})=9-6=3$

Таким образом,

$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{30}{3}=10$

Теперь добавим 1 к результату:

$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+1=10+1=11$

Ответ:

а) $x_1+x_2=-6$
б) $x_1{x}_2=3$
в) $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+1=11$