Чему равно (sin ² 41° + sin ² 49° ) / 4 Подскажите, пожалуйста, как найти значение этого выражения ?

Для того чтобы найти значение выражения (sin²41° + sin²49°) / 4, мы можем воспользоваться формулой синуса удвоенного угла:

sin(2α) = 2sin(α)cos(α)

Применим эту формулу к нашему выражению:

(sin²41° + sin²49°) / 4 = (1/2)(2sin(41°)cos(41°) + 2sin(49°)cos(49°)) / 4

Теперь мы можем разложить выражение на два слагаемых:

(1/2)(2sin(41°)cos(41°) + 2sin(49°)cos(49°)) / 4 = (1/2)(sin(82°) + sin(98°)) / 4

Используя формулу синуса суммы углов, мы можем преобразовать это выражение:

(1/2)(sin(82°) + sin(98°)) / 4 = (1/2)(2sin(90°)cos(-4°)) / 4

Так как sin(90°) = 1 и cos(-4°) = cos(4°), мы получаем:

(1/2)(2sin(90°)cos(4°)) / 4 = (1/2)(2(1)(cos(4°))) / 4 = cos(4°) / 2

Таким образом, значение выражения (sin²41° + sin²49°) / 4 равно cos(4°) / 2.

Для решения данного выражения ((\sin^2 41^\circ + \sin^2 49^\circ) / 4) нам нужно воспользоваться тригонометрическими тождествами и свойствами.

1. Тождество для суммы квадратов синусов:

   Существует тригонометрическое тождество для суммы квадратов синусов двух углов: [ \sin^2 A + \sin^2 B = 1 - \frac{1}{2} \cos(2A) - \frac{1}{2} \cos(2B) ]

2. Применение тождества:

   Для нашего выражения (A = 41^\circ) и (B = 49^\circ). Подставим эти значения в тождество: [ \sin^2 41^\circ + \sin^2 49^\circ = 1 - \frac{1}{2} \cos(82^\circ) - \frac{1}{2} \cos(98^\circ) ]

3. Упрощение косинусов:

   Используем свойства косинуса: [ \cos(98^\circ) = -\cos(82^\circ) ]

   Подставим это в выражение: [ \sin^2 41^\circ + \sin^2 49^\circ = 1 - \frac{1}{2} \cos(82^\circ) + \frac{1}{2} \cos(82^\circ) ]

4. Упростим выражение:

   Учитывая, что (-\frac{1}{2} \cos(82^\circ) + \frac{1}{2} \cos(82^\circ) = 0): [ \sin^2 41^\circ + \sin^2 49^\circ = 1 ]

5. Найдем значение исходного выражения:

   Подставим это в оригинальное выражение: [ \frac{\sin^2 41^\circ + \sin^2 49^\circ}{4} = \frac{1}{4} ]

Таким образом, значение данного выражения равно (\frac{1}{4}).