Боковая​ сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении...

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна x, тогда отрезок, на котором она делится точкой касания, равен 2x + 3x = 5x. Обозначим полупериметр треугольника через p, тогда p = 15 / 2 = 7.5 см.

По теореме о касательных к окружности, отрезок, проведенный от вершины угла при основании треугольника к точке касания, равен радиусу вписанной окружности. Обозначим радиус окружности через r.

Таким образом, получаем систему уравнений: 5x = r x + 2r = 7.5

Из первого уравнения находим r = 5x. Подставляем это значение во второе уравнение: x + 10x = 7.5 11x = 7.5 x = 7.5 / 11 ≈ 0.68 см

Таким образом, боковая сторона равна 0.68 см, основание треугольника равно 2 0.68 = 1.36 см, а радиус вписанной окружности равен 5 0.68 = 3.4 см.

Проверим наше решение: 1.36 + 3.4 + 3.4 = 8.16 см 8.16 * 2 = 16.32 см (периметр треугольника)

Таким образом, получаем, что наше решение верно и стороны треугольника равны: 0.68 см, 1.36 см, 1.36 см.

Давайте разберемся с задачей и найдем стороны равнобедренного треугольника с вписанной окружностью, используя данную информацию.

Обозначим равнобедренный треугольник как ( \triangle ABC ), где ( AB = AC ) — боковые стороны, а ( BC ) — основание. Пусть ( I ) — центр вписанной окружности, которая касается стороны ( AB ) в точке ( D ).

По условию, точка касания ( D ) делит боковую сторону ( AB ) в отношении ( 2:3 ), считая от вершины ( A ). Обозначим ( AD = 2x ) и ( DB = 3x ). Тогда длина стороны ( AB = AD + DB = 2x + 3x = 5x ).

Поскольку треугольник равнобедренный, то ( AC ) также равно ( 5x ).

Теперь введем обозначение для основания ( BC = y ).

По условию задачи, периметр треугольника равен 15 см:

[ AB + AC + BC = 15 ]

Подставим наши обозначения:

[ 5x + 5x + y = 15 ]

[ 10x + y = 15 ]

Таким образом, мы получаем уравнение:

[ y = 15 - 10x ]

Так как точка ( D ) на стороне ( AB ) делит её в отношении 2:3, следует, что длины отрезков ( AD ) и ( DB ) такие, что сумма их равна 5x, и это условие автоматически выполняется. Однако, чтобы все стороны треугольника были положительными, необходимо, чтобы ( y > 0 ).

Из уравнения ( y = 15 - 10x ) следует:

[ 15 - 10x > 0 ]

[ 15 > 10x ]

[ x < 1.5 ]

Кроме того, поскольку стороны треугольника должны быть положительными, ( x ) также должно быть больше нуля:

[ x > 0 ]

Таким образом, область допустимых значений для ( x ) такова: ( 0 < x < 1.5 ).

Теперь выберем подходящее значение ( x ) для целых чисел, например, ( x = 1 ). Это значение удовлетворяет условиям задачи.

Тогда:

[ AB = AC = 5x = 5 \times 1 = 5 \text{ см} ]

[ y = 15 - 10 \times 1 = 5 \text{ см} ]

Следовательно, стороны треугольника равны 5 см, 5 см и 5 см, что соответствует равностороннему треугольнику. Это решение удовлетворяет всем условиям задачи с периметром 15 см и данным отношением деления боковой стороны.