Баржа прошла по течению реки 52 км и, повернув обратно, прошла ещё 48 км затратив на весь путь 5 часов....

Давайте разберем задачу по шагам и найдем собственную скорость баржи.

Шаг 1. Введение обозначений

Пусть собственная скорость баржи равна ( x ) км/ч.
Скорость течения реки равна ( 5 ) км/ч.

• Скорость баржи по течению будет равна:
  [ x + 5 \, \text{км/ч}. ]

• Скорость баржи против течения будет равна:
  [ x - 5 \, \text{км/ч}. ]

Далее, по условию задачи:

• Баржа прошла 52 км по течению.
• Баржа прошла 48 км против течения.
• На весь путь (включая оба отрезка) затрачено ( 5 ) часов.

Шаг 2. Выражение времени в пути

Время, затраченное на движение, можно найти по формуле: [ t = \frac{s}{v}, ] где ( t ) — время, ( s ) — расстояние, ( v ) — скорость.

1. Время, затраченное на путь по течению:
   [ t_{\text{по течению}} = \frac{52}{x + 5}. ]

2. Время, затраченное на путь против течения:
   [ t_{\text{против течения}} = \frac{48}{x - 5}. ]

Общее время равно 5 часам: [ \frac{52}{x + 5} + \frac{48}{x - 5} = 5. ]

Шаг 3. Приведение уравнения к общему знаменателю

Уравнение: [ \frac{52}{x + 5} + \frac{48}{x - 5} = 5. ]

Общий знаменатель дробей: ((x + 5)(x - 5)). Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю: [ \frac{52(x - 5) + 48(x + 5)}{(x + 5)(x - 5)} = 5. ]

Раскрываем скобки в числителе: [ 52(x - 5) + 48(x + 5) = 52x - 260 + 48x + 240 = 100x - 20. ]

Таким образом, уравнение становится: [ \frac{100x - 20}{(x + 5)(x - 5)} = 5. ]

Шаг 4. Умножение на знаменатель

Умножим обе части уравнения на ((x + 5)(x - 5)), чтобы избавиться от дробей: [ 100x - 20 = 5(x + 5)(x - 5). ]

Правая часть раскрывается по формуле разности квадратов: [ 5(x + 5)(x - 5) = 5(x^2 - 25). ]

Получаем: [ 100x - 20 = 5x^2 - 125. ]

Шаг 5. Приведение к квадратному уравнению

Перенесем все в одну сторону: [ 5x^2 - 100x - 125 + 20 = 0. ]

Упростим: [ 5x^2 - 100x - 105 = 0. ]

Разделим уравнение на 5: [ x^2 - 20x - 21 = 0. ]

Шаг 6. Решение квадратного уравнения

Решим уравнение: [ x^2 - 20x - 21 = 0. ]

Дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4(1)(-21) = 400 + 84 = 484. ]

Корни уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-20) \pm \sqrt{484}}{2(1)} = \frac{20 \pm 22}{2}. ]

1. ( x_1 = \frac{20 + 22}{2} = \frac{42}{2} = 21 ).
2. ( x_2 = \frac{20 - 22}{2} = \frac{-2}{2} = -1 ).

Скорость ( x ) должна быть положительной, поэтому берем ( x = 21 ).

Шаг 7. Ответ

Собственная скорость баржи равна: [ \boxed{21 \, \text{км/ч}}. ]

Для решения задачи обозначим собственную скорость баржи как ( v ) км/ч. Скорость баржи по течению реки будет равна ( v + 5 ) км/ч, а против течения — ( v - 5 ) км/ч.

Сначала определим время, затраченное на каждую из частей пути:

1. По течению:

   • Расстояние: 52 км.
   • Скорость: ( v + 5 ) км/ч.
   • Время: [ t_1 = \frac{52}{v + 5} ]

2. Против течения:

   • Расстояние: 48 км.
   • Скорость: ( v - 5 ) км/ч.
   • Время: [ t_2 = \frac{48}{v - 5} ]

Теперь составим уравнение для общего времени пути, которое равно 5 часам: [ t_1 + t_2 = 5 ] Подставляя выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ), получаем: [ \frac{52}{v + 5} + \frac{48}{v - 5} = 5 ]

Теперь умножим обе стороны уравнения на ( (v + 5)(v - 5) ) для исключения дробей: [ 52(v - 5) + 48(v + 5) = 5(v^2 - 25) ]

Раскроем скобки: [ 52v - 260 + 48v + 240 = 5v^2 - 125 ]

Сложим подобные: [ 100v - 20 = 5v^2 - 125 ]

Переносим все в одну сторону: [ 5v^2 - 100v - 105 = 0 ]

Упрощаем уравнение, разделив его на 5: [ v^2 - 20v - 21 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: [ D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 400 + 84 = 484 ]

Найдём корни уравнения: [ v = \frac{20 \pm \sqrt{484}}{2} = \frac{20 \pm 22}{2} ] Это даёт два решения: [ v_1 = \frac{42}{2} = 21 \quad \text{и} \quad v_2 = \frac{-2}{2} = -1 ]

Поскольку скорость не может быть отрицательной, принимаем только положительное решение: [ v = 21 \text{ км/ч} ]

Таким образом, собственная скорость баржи составляет 21 км/ч.

Обозначим собственную скорость баржи как ( v ) км/ч.

Когда баржа движется по течению, её скорость составляет ( v + 5 ) км/ч, а против течения — ( v - 5 ) км/ч.

Время, затраченное на путь по течению: [ t_1 = \frac{52}{v + 5} ]

Время, затраченное на путь против течения: [ t_2 = \frac{48}{v - 5} ]

Общее время в пути: [ t_1 + t_2 = 5 ]

Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ): [ \frac{52}{v + 5} + \frac{48}{v - 5} = 5 ]

Умножим обе части уравнения на ( (v + 5)(v - 5) ) для избавления от дробей: [ 52(v - 5) + 48(v + 5) = 5(v^2 - 25) ]

Раскроем скобки: [ 52v - 260 + 48v + 240 = 5v^2 - 125 ] [ 100v - 20 = 5v^2 - 125 ]

Переносим все в одну сторону: [ 5v^2 - 100v - 105 = 0 ]

Разделим уравнение на 5: [ v^2 - 20v - 21 = 0 ]

Решим квадратное уравнение по формуле: [ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 84}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{484}}{2} = \frac{20 \pm 22}{2} ]

Находим корни: [ v_1 = \frac{42}{2} = 21, \quad v_2 = \frac{-2}{2} = -1 ]

Так как скорость не может быть отрицательной, то: [ v = 21 \text{ км/ч} ]

Собственная скорость баржи составляет 21 км/ч.