Арифметическая прогрессия задана формулой an=6n-121. а.)найдите сумму отрицательных членов прогрессии....

Для анализа данной арифметической прогрессии, заданной формулой ( a_n = 6n - 121 ), сначала определим, какие члены являются отрицательными, а затем найдем сумму членов с 5-го по 14-й включительно.

а.) Найдите сумму отрицательных членов прогрессии.

1. Определение отрицательных членов: Чтобы найти, когда члены прогрессии отрицательные, решим неравенство: [ 6n - 121 < 0 ] Переносим 121: [ 6n < 121 ] Делим обе стороны на 6: [ n < \frac{121}{6} \approx 20.1667 ] Это означает, что все члены прогрессии с ( n = 1 ) до ( n = 20 ) будут отрицательными.

2. Нахождение суммы отрицательных членов: Нам нужно найти сумму первых 20 членов прогрессии. Сумма первых ( N ) членов арифметической прогрессии может быть найдена по формуле: [ S_N = \frac{N}{2} \cdot (a_1 + a_N) ] Сначала вычислим ( a1 ) и ( a{20} ): [ a1 = 6 \cdot 1 - 121 = 6 - 121 = -115 ] [ a{20} = 6 \cdot 20 - 121 = 120 - 121 = -1 ] Теперь подставим значения в формулу суммы: [ S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (-115 - 1) = 10 \cdot (-116) = -1160 ]

Ответ на пункт а:

Сумма отрицательных членов прогрессии равна ( -1160 ).

б.) Найдите сумму членов данной прогрессии с 5-го по 14-й включительно.

1. Вычислим члены с 5-го по 14-й: Нам нужно найти ( a5 ) и ( a{14} ): [ a5 = 6 \cdot 5 - 121 = 30 - 121 = -91 ] [ a{14} = 6 \cdot 14 - 121 = 84 - 121 = -37 ]

2. Нахождение суммы членов с 5-го по 14-й: Количество членов ( N = 14 - 5 + 1 = 10 ). Сумма также рассчитывается по формуле: [ S_{10} = \frac{N}{2} \cdot (a5 + a{14}) ] Подставляем значения: [ S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (-91 - 37) = 5 \cdot (-128) = -640 ]

Ответ на пункт б:

Сумма членов данной прогрессии с 5-го по 14-й включительно равна ( -640 ).

Давайте разберем задачу по частям и подробно решим каждую из них.

Дано:

Формула для ( n )-го члена арифметической прогрессии: [ a_n = 6n - 121 ]

1. Найти сумму отрицательных членов прогрессии.

Шаг 1. Найти, при каких ( n ) член прогрессии ( a_n ) отрицателен.

Член прогрессии ( a_n ) будет отрицательным, если: [ a_n < 0 ] Подставим формулу: [ 6n - 121 < 0 ] Решим это неравенство: [ 6n < 121 ] [ n < \frac{121}{6} \approx 20.1667 ] Так как ( n ) — натуральное число, ( n ) принимает значения от 1 до 20 включительно. То есть отрицательные члены прогрессии соответствуют ( n = 1, 2, \dots, 20 ).

Шаг 2. Выпишем формулу для суммы первых ( k ) членов арифметической прогрессии.

Сумма первых ( k ) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: [ S_k = \frac{k}{2} \cdot (a_1 + a_k), ] где ( k ) — количество членов, ( a_1 ) — первый член, ( a_k ) — ( k )-й член.

Шаг 3. Найдем первый (( a1 )) и 20-й (( a{20} )) члены.

Для ( n = 1 ): [ a1 = 6 \cdot 1 - 121 = -115 ] Для ( n = 20 ): [ a{20} = 6 \cdot 20 - 121 = -1 ]

Шаг 4. Найдем сумму отрицательных членов.

Подставим ( k = 20 ), ( a1 = -115 ), ( a{20} = -1 ) в формулу суммы: [ S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (a1 + a{20}) ] [ S{20} = 10 \cdot (-115 - 1) ] [ S{20} = 10 \cdot (-116) = -1160 ]

Итак, сумма отрицательных членов прогрессии: [ S_{\text{отриц}} = -1160 ]

2. Найти сумму членов прогрессии с 5-го по 14-й включительно.

Шаг 1. Найдем 5-й (( a5 )) и 14-й (( a{14} )) члены.

Для ( n = 5 ): [ a5 = 6 \cdot 5 - 121 = 30 - 121 = -91 ] Для ( n = 14 ): [ a{14} = 6 \cdot 14 - 121 = 84 - 121 = -37 ]

Шаг 2. Найдем сумму членов с 5-го по 14-й.

Количество членов: [ k = 14 - 5 + 1 = 10 ] Сумма членов с ( n = 5 ) по ( n = 14 ) вычисляется как: [ S = \frac{k}{2} \cdot (a5 + a{14}) ] Подставим значения: [ S = \frac{10}{2} \cdot (-91 - 37) ] [ S = 5 \cdot (-128) ] [ S = -640 ]

Итак, сумма членов прогрессии с 5-го по 14-й включительно: [ S_{5\text{–}14} = -640 ]

Ответ:

а) Сумма отрицательных членов прогрессии: (-1160).
б) Сумма членов прогрессии с 5-го по 14-й включительно: (-640).