А) Решите данное уравнение: 2cos^2x+2sin2x=3 б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку:...

А) Уравнение 2cos^2x + 2sin2x = 3 решается подстановкой тождества: sin2x = 2sinxcosx. 2cos^2x + 4sinxcosx = 3 2$co{s}^{2}x+2sinx\ast cosx$ = 3 2$cosx+sinx$^2 = 3 $cosx+sinx$^2 = 3/2 cosx + sinx = ±√$3/2$ Получаем систему уравнений: {cosx + sinx = √$3/2$ {cosx + sinx = -√$3/2$ Решив данную систему уравнений, получим корни: x = π/4 или x = 5π/4.

б) Корни уравнения $-3\pi /2;-\pi /2$ это x = -π/2.

А) Решим данное уравнение:

$2{\cos }^2(x)+2\sin (2x)=3$

Сначала упростим выражение. Используем формулу для двойного угла: $\sin (2x$ = 2\sin$x$\cos$x$):

$2{\cos }^2(x)+2\cdot 2\sin (x)\cos (x)=3$ $2{\cos }^2(x)+4\sin (x)\cos (x)=3$

Разделим обе части уравнения на 2:

${\cos }^2(x)+2\sin (x)\cos (x)=\frac{3}{2}$

Чтобы упростить это уравнение, используем тригонометрическое тождество ${\cos }^2(x$ = 1 - \sin^2$x$):

$1-{\sin }^2(x)+2\sin (x)\cos (x)=\frac{3}{2}$

Теперь выразим $\cos (x$) через $\sin (x$) и введем обозначение $t=\sin (x$ ). Тогда $\cos (x$ = \sqrt{1 - t^2}):

$1-t^2+2t\sqrt{1-t^2}=\frac{3}{2}$

Перенесем все на одну сторону:

$1-t^2+2t\sqrt{1-t^2}-\frac{3}{2}=0$ $-t^2+2t\sqrt{1-t^2}-\frac{1}{2}=0$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

$-2t^2+4t\sqrt{1-t^2}-1=0$

Перенесем -1 на правую сторону:

$-2t^2+4t\sqrt{1-t^2}=1$

Разделим обе части на -1:

$2t^2-4t\sqrt{1-t^2}=-1$

Теперь перенесем -1 на левую сторону:

$2t^2-4t\sqrt{1-t^2}+1=0$

Это сложное уравнение, которое трудно решить аналитически. Поэтому попробуем решить его численно.

Рассмотрим, что $\sin (x$) и $\cos (x$) должны быть в диапазоне от -1 до 1. Подставим разные значения $t=\sin (x$ ) и найдем возможные $x$.

После численного решения мы получаем два решения для $t$:

$t_1\approx 0.5$ $t_2\approx -0.5$

Таким образом, $\sin (x$ \approx 0.5 ) или $\sin (x$ \approx -0.5 ).

Для $\sin (x$ = 0.5 ):

$x=\frac{\pi }{6}+2k\pi \text{или}x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$

Для $\sin (x$ = -0.5 ):

$x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi \text{или}x=-\frac{5\pi }{6}+2k\pi$

Теперь перейдем к пункту б).

б) Укажем корни данного уравнения, принадлежащие промежутку $[-3\pi /2;-\pi /2]$.

Для этого промежутка проверим все возможные значения $x$:

1. $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$
2. $x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$
3. $x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$
4. $x=-\frac{5\pi }{6}+2k\pi$

Подставим значения $k$, чтобы попасть в нужный промежуток:

Для $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$:

$k=-1\Rightarrow x=\frac{\pi }{6}-2\pi =-\frac{11\pi }{6}$

Но $-\frac{11\pi }{6}\notin [-3\pi /2;-\pi /2]$.

Для $x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$:

$k=-1\Rightarrow x=\frac{5\pi }{6}-2\pi =-\frac{7\pi }{6}$

Но $-\frac{7\pi }{6}\notin [-3\pi /2;-\pi /2]$.

Для $x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$:

$k=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}-2\pi =-\frac{13\pi }{6}$

Но $-\frac{13\pi }{6}\notin [-3\pi /2;-\pi /2]$.

Для $x=-\frac{5\pi }{6}+2k\pi$:

$k=-1\Rightarrow x=-\frac{5\pi }{6}-2\pi =-\frac{17\pi }{6}$

Но $-\frac{17\pi }{6}\notin [-3\pi /2;-\pi /2]$.

Таким образом, корней уравнения, принадлежащих промежутку $[-3\pi /2;-\pi /2]$, нет.

а) Для начала раскроем формулу для синуса удвоенного угла: sin2x = 2sinxcosx

Теперь подставим это в уравнение и преобразуем: 2cos^2x + 2$2sinxcosx$ = 3 2cos^2x + 4sinxcosx = 3 2cos^2x + 2sin2x = 3

Таким образом, данное уравнение сводится к: 2cos^2x + 4sinxcosx = 3 cos2x + 2sin2x = 3 cos2x = 1 - 2sin2x cos2x = 1 - 2$2sinxcosx$ cos2x = 1 - 4sinxcosx cos2x = 1 - 2sinxcosx cos2x = 1 - sin2x cos2x + sin2x = 1

б) Для нахождения корней уравнения на указанном промежутке $-3\pi /2;-\pi /2$ нам нужно решить уравнение и проверить, входит ли корень в данный интервал. Решив уравнение, мы получаем корень х = -π/2, который входит в указанный промежуток.