А) Решите данное уравнение: 2cos^2x+2sin2x=3 б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку:...

А) Уравнение 2cos^2x + 2sin2x = 3 решается подстановкой тождества: sin2x = 2sinxcosx. 2cos^2x + 4sinxcosx = 3 2(cos^2x + 2sinx*cosx) = 3 2(cosx + sinx)^2 = 3 (cosx + sinx)^2 = 3/2 cosx + sinx = ±√(3/2) Получаем систему уравнений: {cosx + sinx = √(3/2) {cosx + sinx = -√(3/2) Решив данную систему уравнений, получим корни: x = π/4 или x = 5π/4.

б) Корни уравнения [-3π/2; -π/2] это x = -π/2.

А) Решим данное уравнение:

[ 2\cos^2(x) + 2\sin(2x) = 3 ]

Сначала упростим выражение. Используем формулу для двойного угла: (\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)):

[ 2\cos^2(x) + 2 \cdot 2\sin(x)\cos(x) = 3 ] [ 2\cos^2(x) + 4\sin(x)\cos(x) = 3 ]

Разделим обе части уравнения на 2:

[ \cos^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) = \frac{3}{2} ]

Чтобы упростить это уравнение, используем тригонометрическое тождество (\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)):

[ 1 - \sin^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) = \frac{3}{2} ]

Теперь выразим (\cos(x)) через (\sin(x)) и введем обозначение ( t = \sin(x) ). Тогда (\cos(x) = \sqrt{1 - t^2}):

[ 1 - t^2 + 2t\sqrt{1 - t^2} = \frac{3}{2} ]

Перенесем все на одну сторону:

[ 1 - t^2 + 2t\sqrt{1 - t^2} - \frac{3}{2} = 0 ] [ - t^2 + 2t\sqrt{1 - t^2} - \frac{1}{2} = 0 ]

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

[ -2t^2 + 4t\sqrt{1 - t^2} - 1 = 0 ]

Перенесем -1 на правую сторону:

[ -2t^2 + 4t\sqrt{1 - t^2} = 1 ]

Разделим обе части на -1:

[ 2t^2 - 4t\sqrt{1 - t^2} = -1 ]

Теперь перенесем -1 на левую сторону:

[ 2t^2 - 4t\sqrt{1 - t^2} + 1 = 0 ]

Это сложное уравнение, которое трудно решить аналитически. Поэтому попробуем решить его численно.

Рассмотрим, что (\sin(x)) и (\cos(x)) должны быть в диапазоне от -1 до 1. Подставим разные значения ( t = \sin(x) ) и найдем возможные ( x ).

После численного решения мы получаем два решения для ( t ):

[ t_1 \approx 0.5 ] [ t_2 \approx -0.5 ]

Таким образом, ( \sin(x) \approx 0.5 ) или ( \sin(x) \approx -0.5 ).

Для ( \sin(x) = 0.5 ):

[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi ]

Для ( \sin(x) = -0.5 ):

[ x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi ]

Теперь перейдем к пункту б).

б) Укажем корни данного уравнения, принадлежащие промежутку ([-3\pi/2 ; -\pi/2]).

Для этого промежутка проверим все возможные значения ( x ):

1. ( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi )
2. ( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi )
3. ( x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi )
4. ( x = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi )

Подставим значения ( k ), чтобы попасть в нужный промежуток:

Для ( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi ):

[ k = -1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6} ]

Но ( -\frac{11\pi}{6} \notin [-3\pi/2 ; -\pi/2] ).

Для ( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi ):

[ k = -1 \Rightarrow x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6} ]

Но ( -\frac{7\pi}{6} \notin [-3\pi/2 ; -\pi/2] ).

Для ( x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi ):

[ k = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6} ]

Но ( -\frac{13\pi}{6} \notin [-3\pi/2 ; -\pi/2] ).

Для ( x = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi ):

[ k = -1 \Rightarrow x = -\frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{17\pi}{6} ]

Но ( -\frac{17\pi}{6} \notin [-3\pi/2 ; -\pi/2] ).

Таким образом, корней уравнения, принадлежащих промежутку ([-3\pi/2 ; -\pi/2]), нет.

а) Для начала раскроем формулу для синуса удвоенного угла: sin2x = 2sinxcosx

Теперь подставим это в уравнение и преобразуем: 2cos^2x + 2(2sinxcosx) = 3 2cos^2x + 4sinxcosx = 3 2cos^2x + 2sin2x = 3

Таким образом, данное уравнение сводится к: 2cos^2x + 4sinxcosx = 3 cos2x + 2sin2x = 3 cos2x = 1 - 2sin2x cos2x = 1 - 2(2sinxcosx) cos2x = 1 - 4sinxcosx cos2x = 1 - 2sinxcosx cos2x = 1 - sin2x cos2x + sin2x = 1

б) Для нахождения корней уравнения на указанном промежутке [-3π/2; -π/2] нам нужно решить уравнение и проверить, входит ли корень в данный интервал. Решив уравнение, мы получаем корень х = -π/2, который входит в указанный промежуток.