8sin^2(2x)-2cos2x=5 решите пожалуйста,с пояснением

Для решения уравнения ( 8\sin^2(2x) - 2\cos(2x) = 5 ) начнем с замены ( \sin^2(2x) ) и ( \cos(2x) ). Мы знаем, что:

[ \sin^2(2x) = 1 - \cos^2(2x) ]

Также используем тот факт, что ( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) ). Однако для упрощения уравнения лучше воспользоваться другой заменой.

Выразим ( \sin^2(2x) ) через ( \cos(2x) ): [ \sin^2(2x) = 1 - \cos^2(2x) = 1 - \left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right)^2 ]

Теперь подставим ( \sin^2(2x) ) в уравнение. Однако проще воспользоваться тригонометрическими тождествами. У нас есть:

[ \sin^2(2x) = \frac{1 - \cos(4x)}{2} ]

Подставим это в уравнение:

[ 8 \cdot \frac{1 - \cos(4x)}{2} - 2\cos(2x) = 5 ]

Упрощаем:

[ 4(1 - \cos(4x)) - 2\cos(2x) = 5 ] [ 4 - 4\cos(4x) - 2\cos(2x) = 5 ] [ -4\cos(4x) - 2\cos(2x) = 1 ] [ 4\cos(4x) + 2\cos(2x) = -1 ]

Теперь упростим:

[ 2 \cos(2x)(2\cos(2x) + 1) = -1 ]

Решим это уравнение, однако проще будет выразить ( \cos(4x) ) через ( \cos(2x) ):

[ \cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1 ]

Подставим ( \cos(4x) ):

[ 4(2\cos^2(2x) - 1) + 2\cos(2x) = -1 ] [ 8\cos^2(2x) - 4 + 2\cos(2x) = -1 ] [ 8\cos^2(2x) + 2\cos(2x) - 3 = 0 ]

Теперь, обозначим ( y = \cos(2x) ):

[ 8y^2 + 2y - 3 = 0 ]

Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

[ D = 2^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 4 + 96 = 100 ]

Находим корни:

[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 8} = \frac{-2 \pm 10}{16} ] [ y_1 = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4} ]

Теперь возвращаемся к ( \cos(2x) ):

1. ( \cos(2x) = \frac{1}{2} ) дает ( 2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi ) или ( 2x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi ), значит, ( x = \frac{\pi}{6} + k\pi ) или ( x = \frac{5\pi}{6} + k\pi ) для ( k \in \mathbb{Z} ).

2. ( \cos(2x) = -\frac{3}{4} ) дает ( 2x = \cos^{-1}\left(-\frac{3}{4}\right) + 2k\pi ) и ( 2x = -\cos^{-1}\left(-\frac{3}{4}\right) + 2k\pi ), значит ( x = \frac{1}{2}\cos^{-1}\left(-\frac{3}{4}\right) + k\pi ) или ( x = -\frac{1}{2}\cos^{-1}\left(-\frac{3}{4}\right) + k\pi ).

Таким образом, у нас есть все решения уравнения.

Для решения уравнения ( 8\sin^2(2x) - 2\cos(2x) = 5 ), воспользуемся основными тригонометрическими тождествами и методами преобразования. Давайте разберем решение шаг за шагом:

1. Используем основное тригонометрическое тождество

Напоминаем, что (\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1). Отсюда (\sin^2(2x) = 1 - \cos^2(2x)). Подставим это выражение вместо (\sin^2(2x)) в уравнение: [ 8(1 - \cos^2(2x)) - 2\cos(2x) = 5. ]

2. Раскрываем скобки

Раскрываем скобки и упрощаем: [ 8 - 8\cos^2(2x) - 2\cos(2x) = 5. ] Переносим все в одну сторону уравнения: [ -8\cos^2(2x) - 2\cos(2x) + 8 - 5 = 0. ] Упрощаем: [ -8\cos^2(2x) - 2\cos(2x) + 3 = 0. ]

3. Умножаем на (-1) для удобства

Умножим на (-1), чтобы упростить коэффициенты: [ 8\cos^2(2x) + 2\cos(2x) - 3 = 0. ]

4. Вводим замену

Обозначим (\cos(2x) = t). Тогда уравнение становится: [ 8t^2 + 2t - 3 = 0. ]

5. Решаем квадратное уравнение

Используем дискриминант для решения уравнения (8t^2 + 2t - 3 = 0). Напоминаем, что дискриминант вычисляется по формуле: [ D = b^2 - 4ac, ] где (a = 8), (b = 2), (c = -3). Подставляем: [ D = 2^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 4 + 96 = 100. ] Корни квадратного уравнения находятся по формуле: [ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. ] Подставляем значения: [ t = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 8}. ] [ t = \frac{-2 \pm 10}{16}. ] Считаем оба корня: [ t_1 = \frac{-2 + 10}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}, ] [ t_2 = \frac{-2 - 10}{16} = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4}. ]

6. Возвращаемся к (\cos(2x))

Теперь помним, что (t = \cos(2x)). Значит, у нас два уравнения:

1. (\cos(2x) = \frac{1}{2}),
2. (\cos(2x) = -\frac{3}{4}).

7. Решаем первое уравнение (\cos(2x) = \frac{1}{2})

Условие (\cos(2x) = \frac{1}{2}) выполняется, если: [ 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}. ] Разделим на 2, чтобы найти (x): [ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}. ]

8. Решаем второе уравнение (\cos(2x) = -\frac{3}{4})

В данном случае (\cos(2x) = -\frac{3}{4}). Арккосинус от (-\frac{3}{4}) можно записать так: [ 2x = \pm \arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}. ] Разделим на 2: [ x = \pm \frac{1}{2}\arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}. ]

9. Общий ответ

Объединяя результаты, получаем общий ответ: [ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}, ] или [ x = \pm \frac{1}{2}\arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}. ]

Для решения уравнения (8\sin^2(2x) - 2\cos(2x) = 5) начнем с преобразования его в более удобную форму.

1. Преобразуем уравнение: Упростим уравнение, разделив обе стороны на 2: [ 4\sin^2(2x) - \cos(2x) = \frac{5}{2} ]

2. Используем тригонометрическую идентичность: Мы знаем, что (\sin^2(2x) = 1 - \cos^2(2x)). Подставим это в уравнение: [ 4(1 - \cos^2(2x)) - \cos(2x) = \frac{5}{2} ] Раскроем скобки: [ 4 - 4\cos^2(2x) - \cos(2x) = \frac{5}{2} ]

3. Переносим все в одну сторону: Переносим (\frac{5}{2}) влево: [ 4 - 4\cos^2(2x) - \cos(2x) - \frac{5}{2} = 0 ] Приведем подобные: [ -4\cos^2(2x) - \cos(2x) + \frac{3}{2} = 0 ]

4. Умножим на -1 (чтобы упростить уравнение): [ 4\cos^2(2x) + \cos(2x) - \frac{3}{2} = 0 ]

5. Умножим на 2 для удобства: [ 8\cos^2(2x) + 2\cos(2x) - 3 = 0 ]

6. Решаем квадратное уравнение: Обозначим (y = \cos(2x)). Получаем: [ 8y^2 + 2y - 3 = 0 ] Используем формулу для решения квадратного уравнения (y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}): [ a = 8, \quad b = 2, \quad c = -3 ] Подставим значения: [ y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3)}}{2 \cdot 8} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 96}}{16} = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{16} = \frac{-2 \pm 10}{16} ]

   Находим два корня: [ y_1 = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4} ]

7. Находим значения (x): Теперь вернемся к (y = \cos(2x)):

   Для (y_1 = \frac{1}{2}): [ \cos(2x) = \frac{1}{2} \implies 2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ] Делим на 2: [ x = \frac{\pi}{6} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + k\pi ]

   Для (y_2 = -\frac{3}{4}): [ \cos(2x) = -\frac{3}{4} ] Это дает два решения: [ 2x = \pm \arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ] Делим на 2: [ x = \frac{1}{2} \arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + k\pi \quad \text{или} \quad x = -\frac{1}{2} \arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + k\pi ]

8. Итак, окончательное решение: [ x = \frac{\pi}{6} + k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{6} + k\pi, \quad x = \frac{1}{2} \arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + k\pi, \quad x = -\frac{1}{2} \arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Таким образом, мы нашли все решения уравнения (8\sin^2(2x) - 2\cos(2x) = 5).