6cos^2x-5cosx-4=0 Пжалста, добрые люди, помогите ._.

Чтобы решить уравнение (6\cos^2x - 5\cos x - 4 = 0), начнем с того, что это квадратное уравнение относительно (y = \cos x). Мы можем переписать уравнение в виде:

[ 6y^2 - 5y - 4 = 0. ]

Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения (ay^2 + by + c = 0):

[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ] где (a = 6), (b = -5), (c = -4).

Подставим значения в формулу:

1. Вычислим дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-4) = 25 + 96 = 121. ]

2. Найдем корни: [ y = \frac{-(-5) \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm 11}{12}. ]

Теперь найдем два корня:

1. Первый корень: [ y_1 = \frac{5 + 11}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}. ] Однако, (\cos x) не может быть больше 1, поэтому этот корень не подходит.

2. Второй корень: [ y_2 = \frac{5 - 11}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}. ]

Теперь мы имеем только один допустимый корень: (\cos x = -\frac{1}{2}).

Следующим шагом найдем углы (x), для которых (\cos x = -\frac{1}{2}). Это значение косинуса соответствует углам в первой и второй четверти:

[ x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi, ] где (k) — целое число.

Таким образом, обобщенное решение уравнения (6\cos^2x - 5\cos x - 4 = 0) можно записать как:

[ x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

Это все возможные решения исходного уравнения.

Рассмотрим уравнение:

[ 6\cos^2x - 5\cos x - 4 = 0 ]

Это квадратное уравнение относительно (\cos x). Чтобы решить его, введём замену: (\cos x = t). Тогда уравнение примет вид:

[ 6t^2 - 5t - 4 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение относительно (t) с помощью дискриминанта.

1. Найдём дискриминант

Дискриминант квадратного уравнения имеет вид:

[ D = b^2 - 4ac ]

Здесь:

• (a = 6),
• (b = -5),
• (c = -4).

Подставляем:

[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-4) = 25 + 96 = 121 ]

Дискриминант (D = 121 > 0), а значит, уравнение имеет два корня.

2. Найдём корни уравнения

Формула корней квадратного уравнения:

[ t_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставляем значения (a), (b), и (D):

[ t_{1, 2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm 11}{12} ]

Первый корень:

[ t_1 = \frac{5 + 11}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} ]

Второй корень:

[ t_2 = \frac{5 - 11}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} ]

3. Проверяем область определения

Так как (\cos x) может принимать значения только в диапазоне ([-1; 1]), то (t = \cos x) тоже должно быть в этом диапазоне. Рассмотрим оба корня:

• (t_1 = \frac{4}{3}) — не подходит, так как (\frac{4}{3} > 1).
• (t_2 = -\frac{1}{2}) — подходит, так как (-1 \leq -\frac{1}{2} \leq 1).

Таким образом, остаётся только (t_2 = -\frac{1}{2}).

4. Возвращаемся к тригонометрическому уравнению

Мы вернулись к уравнению:

[ \cos x = -\frac{1}{2} ]

Теперь вспомним, что (\cos x = -\frac{1}{2}) на тригонометрической окружности. Косинус отрицателен во II и III четвертях. Угол, для которого (\cos x = \frac{1}{2}), равен ( \frac{\pi}{3} ). С учётом отрицательного значения косинуса, получаем:

[ x = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \quad (\text{II четверть}), ] [ x = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \quad (\text{III четверть}). ]

5. Общее решение

Учитывая периодичность косинуса ((2\pi)), общее решение уравнения:

[ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Ответ:

Общее решение уравнения:

[ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]