60 деталей первый рабочий изготавливает на 3 ч быстрее, чем второй за сколько часов второй рабочий из-...

Пусть первый рабочий изготавливает 60 деталей за (x) часов. Тогда второй рабочий изготавливает 60 деталей за (x + 3) часов. Согласно условию, если они работают вместе, то они изготавливают 30 деталей за 1 час.

Таким образом, скорость работы первого рабочего равна (\frac{60}{x}) деталей в час, а второго рабочего равна (\frac{60}{x+3}) деталей в час. Когда они работают вместе, их общая скорость работы равна сумме их скоростей, то есть:

[\frac{60}{x} + \frac{60}{x+3} = 30]

Умножим обе стороны на (x(x+3)) для упрощения:

[60(x+3) + 60x = 30x(x+3)]

[60x + 180 + 60x = 30x^2 + 90x]

[120x + 180 = 30x^2 + 90x]

[30x^2 - 30x - 180 = 0]

[x^2 - x - 6 = 0]

Решив квадратное уравнение, получим два возможных значения (x): (x = -2) и (x = 3). Так как время не может быть отрицательным, то первый рабочий изготавливает 60 деталей за 3 часа, а второй рабочий изготавливает 60 деталей за 6 часов.

Следовательно, чтобы второй рабочий изготовил 90 деталей, ему потребуется (\frac{90}{60} \times 6 = 9) часов.

Давайте рассмотрим данную задачу более подробно. Обозначим время, за которое первый рабочий изготавливает 60 деталей, как ( t_1 ) (в часах), а время, за которое второй рабочий изготавливает 60 деталей, как ( t_2 ). Нам известно, что первый рабочий изготавливает 60 деталей на 3 часа быстрее, чем второй, то есть:

[ t_1 = t_2 - 3 ]

Теперь введем понятие производительности. Производительность первого рабочего обозначим как ( P_1 ) (деталей в час), а второго рабочего — как ( P_2 ) (деталей в час). Поскольку производительность определяется как количество деталей, изготовленных за единицу времени, то:

[ P_1 = \frac{60}{t_1} ] [ P_2 = \frac{60}{t_2} ]

Также дано, что, работая вместе, они изготавливают 30 деталей за 1 час, то есть их совместная производительность:

[ P_1 + P_2 = 30 ]

Подставим выражения для ( P_1 ) и ( P_2 ):

[ \frac{60}{t_1} + \frac{60}{t_2} = 30 ]

Теперь подставим выражение ( t_1 = t_2 - 3 ) в уравнение:

[ \frac{60}{t_2 - 3} + \frac{60}{t_2} = 30 ]

Домножим всю левую часть уравнения на ( t_2(t_2 - 3) ), чтобы избавиться от дробей:

[ 60t_2 + 60(t_2 - 3) = 30t_2(t_2 - 3) ]

Раскроем скобки:

[ 60t_2 + 60t_2 - 180 = 30t_2^2 - 90t_2 ]

Соберём все члены в одну сторону уравнения:

[ 120t_2 - 180 = 30t_2^2 - 90t_2 ]

Перенесём все члены в левую часть уравнения и приведём подобные:

[ 30t_2^2 - 210t_2 + 180 = 0 ]

Разделим уравнение на 30, чтобы упростить его:

[ t_2^2 - 7t_2 + 6 = 0 ]

Решим квадратное уравнение методом разложения на множители. Найдём корни уравнения:

[ t_2^2 - 7t_2 + 6 = (t_2 - 1)(t_2 - 6) = 0 ]

Отсюда:

[ t_2 = 1 \quad \text{или} \quad t_2 = 6 ]

Так как второй рабочий не может изготовить 60 деталей за 1 час (это противоречит условию задачи), остаётся:

[ t_2 = 6 ]

Значит, второй рабочий изготавливает 60 деталей за 6 часов. Теперь определим, за сколько часов он изготовит 90 деталей. Поскольку его производительность ( P_2 = \frac{60}{6} = 10 ) деталей в час, время, необходимое для изготовления 90 деталей, будет:

[ t_2' = \frac{90}{P_2} = \frac{90}{10} = 9 ]

Таким образом, второй рабочий изготовит 90 деталей за 9 часов.