60 деталей первый рабочий изготавливает на 3 ч быстрее, чем второй за сколько часов второй рабочий из-...

Пусть первый рабочий изготавливает 60 деталей за $x$ часов. Тогда второй рабочий изготавливает 60 деталей за $x+3$ часов. Согласно условию, если они работают вместе, то они изготавливают 30 деталей за 1 час.

Таким образом, скорость работы первого рабочего равна $\frac{60}{x}$ деталей в час, а второго рабочего равна $\frac{60}{x+3}$ деталей в час. Когда они работают вместе, их общая скорость работы равна сумме их скоростей, то есть:

$\frac{60}{x}+\frac{60}{x+3}=30$

Умножим обе стороны на $x(x+3$) для упрощения:

$60(x+3)+60x=30x(x+3)$

$60x+180+60x=30x^2+90x$

$120x+180=30x^2+90x$

$30x^2-30x-180=0$

$x^2-x-6=0$

Решив квадратное уравнение, получим два возможных значения $x$: $x=-2$ и $x=3$. Так как время не может быть отрицательным, то первый рабочий изготавливает 60 деталей за 3 часа, а второй рабочий изготавливает 60 деталей за 6 часов.

Следовательно, чтобы второй рабочий изготовил 90 деталей, ему потребуется $\frac{90}{60}\times 6=9$ часов.

Давайте рассмотрим данную задачу более подробно. Обозначим время, за которое первый рабочий изготавливает 60 деталей, как $t_1$ $вчасах$, а время, за которое второй рабочий изготавливает 60 деталей, как $t_2$. Нам известно, что первый рабочий изготавливает 60 деталей на 3 часа быстрее, чем второй, то есть:

$t_1=t_2-3$

Теперь введем понятие производительности. Производительность первого рабочего обозначим как $P_1$ $деталейвчас$, а второго рабочего — как $P_2$ $деталейвчас$. Поскольку производительность определяется как количество деталей, изготовленных за единицу времени, то:

$P_1=\frac{60}{t_1}$ $P_2=\frac{60}{t_2}$

Также дано, что, работая вместе, они изготавливают 30 деталей за 1 час, то есть их совместная производительность:

$P_1+P_2=30$

Подставим выражения для $P_1$ и $P_2$:

$\frac{60}{t_1}+\frac{60}{t_2}=30$

Теперь подставим выражение $t_1=t_2-3$ в уравнение:

$\frac{60}{t_2-3}+\frac{60}{t_2}=30$

Домножим всю левую часть уравнения на $t_2(t_2-3$ ), чтобы избавиться от дробей:

$60t_2+60(t_2-3)=30t_2(t_2-3)$

Раскроем скобки:

$60t_2+60t_2-180=30t_2^2-90t_2$

Соберём все члены в одну сторону уравнения:

$120t_2-180=30t_2^2-90t_2$

Перенесём все члены в левую часть уравнения и приведём подобные:

$30t_2^2-210t_2+180=0$

Разделим уравнение на 30, чтобы упростить его:

$t_2^2-7t_2+6=0$

Решим квадратное уравнение методом разложения на множители. Найдём корни уравнения:

$t_2^2-7t_2+6=(t_2-1)(t_2-6)=0$

Отсюда:

$t_2=1\text{или}{t}_2=6$

Так как второй рабочий не может изготовить 60 деталей за 1 час $этопротиворечитусловиюзадачи$, остаётся:

$t_2=6$

Значит, второй рабочий изготавливает 60 деталей за 6 часов. Теперь определим, за сколько часов он изготовит 90 деталей. Поскольку его производительность $P_2=\frac{60}{6}=10$ деталей в час, время, необходимое для изготовления 90 деталей, будет:

$t_2^{\prime }=\frac{90}{P_2}=\frac{90}{10}=9$

Таким образом, второй рабочий изготовит 90 деталей за 9 часов.