5sinx+3sin2x=0 распишите пожалуйста как решается подробно

Для решения уравнения 5sinx + 3sin2x = 0, нам нужно использовать тригонометрические тождества для преобразования выражения и нахождения корней.

1. Заменим sin2x на 2sinxcosx, используя тождество sin2x = 2sinxcosx:

5sinx + 3(2sinxcosx) = 0 5sinx + 6sinxcosx = 0

1. Вынесем sinx за скобку:

sinx(5 + 6cosx) = 0

Теперь у нас есть произведение двух множителей, которое равно нулю. Это значит, что один из множителей равен нулю:

1. sinx = 0

2. 5 + 6cosx = 0

3. Решим каждое уравнение по отдельности:

4. sinx = 0 x = arcsin(0) + 2πn x = 0 + 2πn, π + 2πn (где n - целое число)

5. 5 + 6cosx = 0 6cosx = -5 cosx = -5/6 x = arccos(-5/6) + 2πn, -arccos(-5/6) + 2πn (где n - целое число)

Таким образом, решением уравнения 5sinx + 3sin2x = 0 являются значения x = 0 + 2πn, π + 2πn, arccos(-5/6) + 2πn, -arccos(-5/6) + 2πn, где n - целое число.

Конечно, давайте подробно разберем, как решить уравнение ( 5\sin{x} + 3\sin{2x} = 0 ).

1. Замена тригонометрических функций:

   Сначала вспомним, что (\sin{2x}) можно выразить через (\sin{x}) и (\cos{x}): [ \sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x} ]

   Тогда уравнение можно переписать так: [ 5\sin{x} + 3(2\sin{x}\cos{x}) = 0 ] [ 5\sin{x} + 6\sin{x}\cos{x} = 0 ]

2. Вынесение общего множителя за скобки:

   В обоих слагаемых присутствует (\sin{x}), поэтому вынесем его за скобки: [ \sin{x}(5 + 6\cos{x}) = 0 ]

3. Решение каждого множителя по отдельности:

   Теперь у нас есть произведение двух множителей, равное нулю. Это значит, что один из них должен быть равен нулю. Рассмотрим каждый случай отдельно.

   Случай 1: [ \sin{x} = 0 ] Решением этого уравнения будут углы, при которых синус равен нулю: [ x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} ]

   Случай 2: [ 5 + 6\cos{x} = 0 ] Решим это уравнение для (\cos{x}): [ 6\cos{x} = -5 ] [ \cos{x} = -\frac{5}{6} ]

4. Нахождение значений (x):

   Теперь нужно найти значения (x), при которых (\cos{x} = -\frac{5}{6}). Воспользуемся общим решением для косинуса: [ x = \pm \arccos{\left(-\frac{5}{6}\right)} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

   Поскольку (\arccos) возвращает значения в пределах от 0 до (\pi), получим: [ x = \arccos{\left(-\frac{5}{6}\right)} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = -\arccos{\left(-\frac{5}{6}\right)} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

5. Объединение всех решений:

   Итоговые решения уравнения будут объединением решений из обоих случаев: [ x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} ] и [ x = \pm \arccos{\left(-\frac{5}{6}\right)} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Таким образом, все решения уравнения ( 5\sin{x} + 3\sin{2x} = 0 ) можно записать в следующем виде: [ x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} ] и [ x = \pm \arccos{\left(-\frac{5}{6}\right)} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]