4sin^4(2x)+3 cos4x-1=0а) Решите уравнение Б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку...

Для начала преобразуем уравнение:

4sin^4(2x) + 3cos^4(2x) - 1 = 0

Теперь воспользуемся формулами тригонометрии:

sin^2(2x) = 1 - cos^2(2x)

Подставим это выражение в исходное уравнение:

4(1 - cos^2(2x))^2 + 3cos^4(2x) - 1 = 0

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

4(1 - 2cos^2(2x) + cos^4(2x)) + 3cos^4(2x) - 1 = 0

4 - 8cos^2(2x) + 4cos^4(2x) + 3cos^4(2x) - 1 = 0

Упростим:

7cos^4(2x) - 8cos^2(2x) + 3 = 0

Проведем замену:

y = cos^2(2x)

Получим квадратное уравнение:

7y^2 - 8y + 3 = 0

Найдем дискриминант:

D = 8^2 - 4 7 3 = 64 - 84 = -20

Так как дискриминант отрицательный, у нас нет действительных корней уравнения.

Следовательно, уравнение 4sin^4(2x) + 3cos4x - 1 = 0 не имеет решений на отрезке [π; 3π/2].

Для решения уравнения 4sin^4(2x) + 3cos(4x) - 1 = 0, начнем с упрощения и использования тригонометрических тождеств.

а) Решение уравнения

1. Заметим, что cos(4x) можно выразить через sin(2x): [ \cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) ] Подставим это в уравнение: [ 4\sin^4(2x) + 3(1 - 2\sin^2(2x)) - 1 = 0 ] Упростим уравнение: [ 4\sin^4(2x) - 6\sin^2(2x) + 2 = 0 ] Заменим (\sin^2(2x)) на (u), тогда (\sin^4(2x) = u^2), и уравнение принимает вид: [ 4u^2 - 6u + 2 = 0 ] Разделим все члены уравнения на 2: [ 2u^2 - 3u + 1 = 0 ] Решим квадратное уравнение: [ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 ] [ u_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4} ] [ u_1 = 1, \quad u_2 = 0.5 ] Возвращаемся к переменной (\sin^2(2x)): [ \sin^2(2x) = 1 \quad \text{или} \quad \sin^2(2x) = 0.5 ] Решаем каждое:
   • Из (\sin^2(2x) = 1) следует (2x = \frac{\pi}{2} + k\pi), где (k) - целое число. Следовательно, (x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}).
   • Из (\sin^2(2x) = 0.5) следует (2x = \frac{\pi}{4} + k\pi) или (2x = \frac{3\pi}{4} + k\pi), откуда (x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}) или (x = \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}).

б) Корни на отрезке ([ \pi; \frac{3\pi}{2}])

Подставим в найденные формулы (k), чтобы найти корни на интересующем нас интервале:

• (x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}):
  • Подставляя (k = 2), получим (x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}), что попадает в интервал.
• (x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}):
  • Подставляя (k = 2), получим (x = \frac{\pi}{8} + \pi = \frac{9\pi}{8}), что попадает в интервал.
• (x = \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}):
  • Подставляя (k = 2), получим (x = \frac{3\pi}{8} + \pi = \frac{11\pi}{8}), что попадает в интервал.

Итак, на отрезке ([ \pi; \frac{3\pi}{2}]) уравнение имеет корни (x = \frac{5\pi}{4}), (x = \frac{9\pi}{8}), и (x = \frac{11\pi}{8}).