- Докажите, что выражение а17 + 2а16 + а15 делится на а + 1.
Для доказательства того, что выражение ( a^{17} + 2a^{16} + a^{15} ) делится на ( a + 1 ), можно воспользоваться теоремой Безу. Теорема Безу утверждает, что многочлен ( f(a) ) делится на ( a - b ), если и только если ( f(b) = 0 ).
В нашем случае, мы хотим доказать делимость на ( a + 1 ), что эквивалентно делимости на ( a - (-1) ). Поэтому нам нужно показать, что значение выражения ( a^{17} + 2a^{16} + a^{15} ) при ( a = -1 ) равно нулю.
Подставим ( a = -1 ) в выражение:
[ (-1)^{17} + 2(-1)^{16} + (-1)^{15}. ]
Теперь вычислим каждое слагаемое:
Теперь сложим эти значения:
[ -1 + 2 - 1 = 0. ]
Таким образом, ( f(-1) = 0 ). Согласно теореме Безу, это означает, что многочлен ( a^{17} + 2a^{16} + a^{15} ) действительно делится на ( a + 1 ).
Следовательно, выражение ( a^{17} + 2a^{16} + a^{15} ) делится на ( a + 1 ).
Для доказательства делимости выражения (а^{17} + 2а^{16} + а^{15}) на (а + 1) воспользуемся методом деления многочленов.
Сначала выразим (а^{17} + 2а^{16} + а^{15}) как (а^{15}(а^2 + 2а + 1)). Заметим, что (а^2 + 2а + 1) является квадратным трехчленом, который можно представить как ((а + 1)^2).
Теперь мы можем записать выражение в виде: (а^{15}(а + 1)^2).
По правилу дистрибутивности умножим (а^{15}) на ((а + 1)^2), что даст нам: (а^{15}(а^2 + 2а + 1)).
Теперь раскроем скобки и получим: (а^{17} + 2а^{16} + а^{15}).
Таким образом, мы получили исходное выражение (а^{17} + 2а^{16} + а^{15}), которое равно (а^{15}(а^2 + 2а + 1)), и видим, что это выражение действительно делится на (а + 1).
Таким образом, доказано, что выражение (а^{17} + 2а^{16} + а^{15}) делится на (а + 1).
Да, выражение делится на а + 1.
