(3x+y)/(x^2+xy) - (x+3y)/(y^2+xy) упростите выражение

Для упрощения данного выражения начнем с приведения его к общему знаменателю. Выражение имеет вид:

[ \frac{3x+y}{x^2+xy} - \frac{x+3y}{y^2+xy} ]

Можно заметить, что знаменатели обоих дробей можно представить в виде произведения (x) и (y) с суммой (x) и (y):

[ x^2 + xy = x(x+y), \quad y^2 + xy = y(x+y) ]

Теперь приведём дроби к общему знаменателю:

[ \frac{3x+y}{x(x+y)} - \frac{x+3y}{y(x+y)} = \frac{(3x+y)y - (x+3y)x}{x(x+y)y} ]

Раскроем скобки в числителе:

[ (3x+y)y - (x+3y)x = 3xy + y^2 - x^2 - 3yx ]

Заметим, что (3xy) и (-3yx) взаимно уничтожаются, так как они равны по величине, но противоположны по знаку. Таким образом, остается:

[ y^2 - x^2 ]

Таким образом, упрощенное выражение принимает вид:

[ \frac{y^2 - x^2}{x(x+y)y} ]

Далее можно воспользоваться формулой разности квадратов:

[ y^2 - x^2 = (y - x)(y + x) ]

Подставляем обратно:

[ \frac{(y-x)(y+x)}{x(x+y)y} = \frac{(y-x)(y+x)}{xy(x+y)} ]

Можно сократить ((y + x)) в числителе и знаменателе:

[ \frac{y-x}{xy} ]

Таким образом, окончательное упрощенное выражение выглядит так:

[ \frac{y-x}{xy} ]

или

[ \frac{x-y}{yx} ]

в зависимости от порядка следования переменных.

Для упрощения выражения (3x+y)/(x^2+xy) - (x+3y)/(y^2+xy) сначала найдем общий знаменатель для двух дробей. Общим знаменателем будет произведение двух знаменателей: (x^2 + xy)*(y^2 + xy) = x^2y^2 + 2x^2y + x^2y + xy^2 = x^2y^2 + 3x^2y + xy^2.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю: (3x+y)/(x^2+xy) = (3x+y)(y^2+xy)/(x^2y^2 + 3x^2y + xy^2) = (3xy^2 + 3x^2y + y^3 + xy)/(x^2y^2 + 3x^2y + xy^2) (x+3y)/(y^2+xy) = (x+3y)(x^2+xy)/(x^2y^2 + 3x^2y + xy^2) = (x^3 + 3xy^2 + x^2y + 3xy)/(x^2y^2 + 3x^2y + xy^2)

Теперь вычитаем одну дробь из другой: (3xy^2 + 3x^2y + y^3 + xy)/(x^2y^2 + 3x^2y + xy^2) - (x^3 + 3xy^2 + x^2y + 3xy)/(x^2y^2 + 3x^2y + xy^2) = (2x^3 - x^2y - 2xy + y^3)/(x^2y^2 + 3x^2y + xy^2)

Таким образом, упрощенное выражение равно (2x^3 - x^2y - 2xy + y^3)/(x^2y^2 + 3x^2y + xy^2).

(3x+y)/(x^2+xy) - (x+3y)/(y^2+xy) = (3x+y)/(x(x+y)) - (x+3y)/(y(x+y)) = (3x+y-x-3y)/(x(x+y)) = (2x-2y)/(x(x+y)) = 2(x-y)/(x(x+y))