3tg(2x) - корень из 3 = 0
3tg(2x) - корень из 3 = 0
Решим уравнение ( 3\tan(2x) - \sqrt{3} = 0 ).
Переносим ( \sqrt{3} ) на правую сторону: [ 3\tan(2x) = \sqrt{3} ]
Делим обе стороны на 3: [ \tan(2x) = \frac{\sqrt{3}}{3} ]
Определяем углы, для которых тангенс равен (\frac{\sqrt{3}}{3}). Известно, что: [ \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} ] Также тангенс имеет период (\pi), поэтому общее решение для (2x) будет: [ 2x = \frac{\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]
Теперь делим обе стороны на 2, чтобы найти (x): [ x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} ]
Формулируем общее решение: [ x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} ]
Таким образом, общее решение уравнения (3\tan(2x) - \sqrt{3} = 0) — это множество значений (x), которые можно выразить формулой: [ x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} ]
Рассмотрим уравнение:
[ 3 \cdot \tan(2x) - \sqrt{3} = 0. ]
Перенесем (\sqrt{3}) в правую часть уравнения и разделим обе стороны на 3:
[ \tan(2x) = \frac{\sqrt{3}}{3}. ]
Из таблицы значений тригонометрических функций знаем, что (\tan(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{3}). Это значит, что:
[ 2x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}, ]
где (n) — любое целое число, так как тангенс является периодической функцией с периодом (\pi).
Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти (x):
[ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]
Общий вид решения уравнения:
[ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]
Подставим (x = \frac{\pi}{12}) в исходное уравнение:
[ \tan(2x) = \tan\left(2 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}. ]
Левая часть уравнения:
[ 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0. ]
Уравнение верно. Решение подтверждено.
Общий вид решения уравнения:
[ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]
