3sin2x-4sinx*cosx+cos2x=0

Для решения уравнения 3sin(2x) - 4sin(x)cos(x) + cos(2x) = 0 используем тригонометрические тождества.

Заменим sin(2x) на 2sin(x)cos(x) и cos(2x) на cos^2(x) - sin^2(x):

3(2sin(x)cos(x)) - 4sin(x)cos(x) + (cos^2(x) - sin^2(x)) = 0 6sin(x)cos(x) - 4sin(x)cos(x) + cos^2(x) - sin^2(x) = 0 2sin(x)cos(x) + cos^2(x) - sin^2(x) = 0

Получаем квадратное уравнение относительно sin(x):

2sin(x)cos(x) + cos^2(x) - sin^2(x) = 0 sin(x)(2cos(x) - sin(x)) + cos^2(x) = 0 sin(x)(2cos(x) - sin(x)) + (1 - sin^2(x)) = 0 sin(x)(2cos(x) - sin(x)) + 1 - sin^2(x) = 0 sin(x)(2cos(x) - sin(x)) + 1 - (1 - cos^2(x)) = 0 sin(x)(2cos(x) - sin(x)) + cos^2(x) = 0

Теперь можно решить это уравнение, используя методы решения квадратных уравнений.

Давай рассмотрим уравнение:

[ 3\sin(2x) - 4\sin(x)\cos(x) + \cos(2x) = 0 ]

Для начала, воспользуемся тригонометрическими тождествами, чтобы упростить выражение. Вспомним, что:

[ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) ]

[ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) ]

Подставим эти значения в исходное уравнение:

[ 3(2\sin(x)\cos(x)) - 4\sin(x)\cos(x) + (\cos^2(x) - \sin^2(x)) = 0 ]

Это упрощает уравнение до:

[ 6\sin(x)\cos(x) - 4\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) - \sin^2(x) = 0 ]

Сгруппируем и упростим:

[ (6\sin(x)\cos(x) - 4\sin(x)\cos(x)) + \cos^2(x) - \sin^2(x) = 0 ]

[ 2\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) - \sin^2(x) = 0 ]

Теперь давай представим это уравнение в другом виде. Мы знаем, что:

[ 2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x) ]

Так что уравнение становится:

[ \sin(2x) + \cos^2(x) - \sin^2(x) = 0 ]

Теперь вспомним еще одно тригонометрическое тождество:

[ \cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x) ]

Тогда уравнение примет вид:

[ \sin(2x) + \cos(2x) = 0 ]

Рассмотрим это уравнение более подробно. Мы можем разделить обе части уравнения на (\cos(2x)) (при условии, что (\cos(2x) \neq 0)):

[ \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} + 1 = 0 ]

Используя определение тангенса, получаем:

[ \tan(2x) + 1 = 0 ]

[ \tan(2x) = -1 ]

Теперь решим это уравнение:

[ 2x = \arctan(-1) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Значение (\arctan(-1)) равно (-\frac{\pi}{4}):

[ 2x = -\frac{\pi}{4} + k\pi ]

Разделим обе части на 2:

[ x = -\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Таким образом, общее решение уравнения:

[ x = -\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Это и есть все значения (x), удовлетворяющие исходному уравнению.