3log ^2 (снизу 4) х-7 log(снизу 4) х+2=0
3log ^2 (снизу 4) х-7 log(снизу 4) х+2=0
Для решения данного уравнения с логарифмическими выражениями, необходимо преобразовать его сначала в более простую форму. Для этого воспользуемся свойствами логарифмов.
Сначала применим свойство логарифмов log(a^b) = b*log(a). Тогда у нас получится:
2log(4, x) - 7log(4, x) + 2 = 0
Затем объединим логарифмы с одинаковыми основаниями, используя свойство логарифмов log(a) + log(b) = log(a*b):
log(4, x^2) - log(4, x^7) + 2 = 0
После этого применим свойство логарифмов log(a) - log(b) = log(a/b):
log(4, x^2/x^7) + 2 = 0
Упростим выражение в скобках:
log(4, x^(-5)) + 2 = 0
Применим обратное свойство логарифма: log(a, b) = c равносильно a^c = b. Имеем:
4^(2 - 5) + 2 = 1/16 + 2 = 33/16
Таким образом, искомым решением уравнения 3log^2(4, x) - 7log(4, x) + 2 = 0 является x = 33/16.
Для решения уравнения ( 3\log^2_4(x) - 7\log_4(x) + 2 = 0 ), сначала введём новую переменную. Обозначим ( \log_4(x) = t ). Тогда уравнение примет вид:
[ 3t^2 - 7t + 2 = 0 ]
Теперь решим это квадратное уравнение относительно ( t ). Для этого можно воспользоваться формулой для корней квадратного уравнения:
[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
Где ( a = 3 ), ( b = -7 ), и ( c = 2 ). Подставим эти значения в формулу:
[ t = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} ] [ t = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{6} ] [ t = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{6} ] [ t = \frac{7 \pm 5}{6} ]
Теперь найдем два значения ( t ):
Таким образом, у нас есть два решения для ( t ):
Теперь вернемся к переменной ( x ). Используем определение логарифма:
Для вычисления ( 4^{\frac{1}{3}} ) можем использовать то, что ( 4 = 2^2 ):
[ 4^{\frac{1}{3}} = (2^2)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} ]
Итак, решения уравнения:
[ x = 16 ] [ x = 2^{\frac{2}{3}} ]
Таким образом, уравнение ( 3\log^2_4(x) - 7\log_4(x) + 2 = 0 ) имеет два решения: ( x = 16 ) и ( x = 2^{\frac{2}{3}} ).
