3^х+4 +3 * 5^х+3=5^х+4 + 3^х+3 решить показательное уравнение

Рассмотрим уравнение: [ 3^{x+4} + 3 \cdot 5^{x+3} = 5^{x+4} + 3^{x+3}. ]

Для решения этого уравнения начнем с упрощения выражений. Перепишем уравнение, разложив степени:

[ 3^{x+4} = 3^x \cdot 3^4 = 3^x \cdot 81, ] [ 3 \cdot 5^{x+3} = 3 \cdot 5^x \cdot 5^3 = 3 \cdot 5^x \cdot 125, ] [ 5^{x+4} = 5^x \cdot 5^4 = 5^x \cdot 625, ] [ 3^{x+3} = 3^x \cdot 3^3 = 3^x \cdot 27. ]

Подставим эти выражения обратно в уравнение:

[ 3^x \cdot 81 + 3 \cdot 5^x \cdot 125 = 5^x \cdot 625 + 3^x \cdot 27. ]

Теперь упростим обе стороны уравнения:

[ 81 \cdot 3^x + 375 \cdot 5^x = 625 \cdot 5^x + 27 \cdot 3^x. ]

Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями:

[ 81 \cdot 3^x - 27 \cdot 3^x = 625 \cdot 5^x - 375 \cdot 5^x. ]

Вынесем за скобки общие множители:

[ 3^x \cdot (81 - 27) = 5^x \cdot (625 - 375). ]

Упростим выражения в скобках:

[ 3^x \cdot 54 = 5^x \cdot 250. ]

Теперь разделим обе стороны на 54 и 250, чтобы выразить уравнение в более удобной форме:

[ \frac{3^x}{\frac{250}{54}} = 5^x. ]

Упростим дробь:

[ \frac{250}{54} = \frac{125}{27}. ]

Таким образом, у нас получается:

[ 3^x \cdot \frac{27}{125} = 5^x. ]

Перепишем это уравнение в следующем виде:

[ \left(\frac{3}{5}\right)^x = \frac{125}{27}. ]

Примечание: ( \frac{125}{27} = \left(\frac{5}{3}\right)^3 ).

Таким образом, уравнение принимает вид:

[ \left(\frac{3}{5}\right)^x = \left(\frac{5}{3}\right)^3. ]

Так как основания и показатели равны, то:

[ x = -3. ]

Следовательно, решением уравнения является:

[ x = -3. ]

Для решения данного показательного уравнения необходимо привести все выражения к одной основе. Сначала раскроем степени: 3^x 3^4 + 3 5^x 5^3 = 5^x 5^4 + 3^x 3^3 3^(x+4) + 3 5^(x+3) = 5^(x+4) + 3^(x+3)

Теперь приведем все выражения к одной степени, например, к степени x+4: 3^(x+4) + 3 * 5^(x+3) = 5^(x+4) + 3^(x+3)

Далее, преобразуем уравнение: 3^(x+4) - 5^(x+4) = 5^(x+3) - 3^(x+3)

Теперь можно привести уравнение к виду: (3^x 3^4 - 5^x 5^4) = (5^x 5^3 - 3^x 3^3)

После этого можно продолжить решение, выражая степени через переменные.