30*корень(2) * cos(3*пи/4) * cos(11*пи/3) объясните, пожалуйста большие проблемы с тригонометрией

Хорошо, давайте разберемся с этим выражением шаг за шагом максимально подробно.

Здесь у нас выражение:

*30 √2 cos(3π/4) cos(11π/3)**

Шаг 1. Упростим каждый из косинусов.

Для начала разберем значения косинусов в выражении.

1.1. Значение cos(3π/4):

Чтобы найти значение ( \cos(3\pi/4) ), вспомним, что ( 3\pi/4 ) — это угол во втором квадранте. Косинус во втором квадранте отрицательный, а значение совпадает по модулю с ( \cos(\pi/4) ), так как угол симметричен относительно оси ( y ).

• ( \cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} )
• Следовательно, ( \cos(3\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2} ).

1.2. Значение cos(11π/3):

Чтобы вычислить ( \cos(11\pi/3) ), сначала упростим угол, так как он больше ( 2\pi ). Вспомним, что один полный оборот на окружности равен ( 2\pi ), то есть мы можем вычитать ( 2\pi ), чтобы получить эквивалентный угол.

• ( 11\pi/3 - 2\pi = 11\pi/3 - 6\pi/3 = 5\pi/3 ).

Теперь нужно найти ( \cos(5\pi/3) ). Угол ( 5\pi/3 ) лежит в четвёртом квадранте. Косинус в четвёртом квадранте положительный, а значение совпадает с ( \cos(\pi/3) ).

• ( \cos(\pi/3) = \frac{1}{2} )
• Следовательно, ( \cos(5\pi/3) = \frac{1}{2} ).

Значит, ( \cos(11\pi/3) = \frac{1}{2} ).

Шаг 2. Подставим значения косинусов в выражение.

Теперь мы знаем:

• ( \cos(3\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2} ),
• ( \cos(11\pi/3) = \frac{1}{2} ).

Подставим их в исходное выражение: [ 30 \cdot \sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}. ]

Шаг 3. Упростим выражение.

Рассмотрим поэтапно:

1. Умножим ( \sqrt{2} ) на ( -\frac{\sqrt{2}}{2} ): [ \sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = -\frac{2}{2} = -1. ]

2. Теперь умножим результат на ( \frac{1}{2} ): [ -1 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}. ]

3. Наконец, умножим на 30: [ 30 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -15. ]

Итог.

Значение исходного выражения равно: [ \boxed{-15}. ]

Если что-то осталось непонятным, спрашивайте, разберем подробнее! 😊

Для решения выражения ( 30 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) \cdot \cos\left(\frac{11\pi}{3}\right) ) последовательно упростим его шаг за шагом.

Шаг 1: Вычисление ( \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) )

Угол ( \frac{3\pi}{4} ) находится во втором квадранте. Значение косинуса для углов во втором квадранте отрицательное, а также можно заметить, что ( \frac{3\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} ).

Используя формулу: [ \cos\left(\pi - x\right) = -\cos(x) ] мы получаем: [ \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} ]

Шаг 2: Вычисление ( \cos\left(\frac{11\pi}{3}\right) )

Чтобы упростить ( \frac{11\pi}{3} ), найдем эквивалентный угол в пределах ( [0, 2\pi) ). Для этого вычтем ( 2\pi \) (или ( \frac{6\pi}{3} )): [ \frac{11\pi}{3} - \frac{6\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} ] Теперь мы можем найти ( \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) ). Угол ( \frac{5\pi}{3} ) также находится в четвертом квадранте, и его значение: [ \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \cos\left(2\pi - \frac{1\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{1\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} ]

Шаг 3: Подстановка значений

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение: [ 30 \cdot \sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) ]

Шаг 4: Упрощение

Упростим выражение: [ = 30 \cdot \sqrt{2} \cdot -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} ] [ = 30 \cdot -\frac{2}{4} ] [ = 30 \cdot -\frac{1}{2} ] [ = -15 ]

Ответ

Таким образом, значение выражения ( 30 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) \cdot \cos\left(\frac{11\pi}{3}\right) ) равно ( -15 ).

Чтобы решить выражение (30 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) \cdot \cos\left(\frac{11\pi}{3}\right)), начнем с нахождения значений косинусов.

1. Найдем (\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)): [ \frac{3\pi}{4} = 180^\circ + 45^\circ = 135^\circ ] В этом квадранте косинус отрицательный: [ \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} ]

2. Найдем (\cos\left(\frac{11\pi}{3}\right)): Сначала упростим угол: [ \frac{11\pi}{3} - 2\pi = \frac{11\pi}{3} - \frac{6\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} ] Это соответствует углу (300^\circ). В этом квадранте косинус положительный: [ \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \cos\left(360^\circ - 60^\circ\right) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} ]

Теперь подставим значения в исходное выражение: [ 30 \cdot \sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} ]

Упростим: [ = 30 \cdot \sqrt{2} \cdot -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = 30 \cdot -\frac{2}{4} = 30 \cdot -\frac{1}{2} = -15 ]

Таким образом, ответ: [ \boxed{-15} ]