30б.Вычислите интеграл от 1 до 2 (3x^2-4x-2/x^2)dx

Для вычисления данного интеграла нужно разложить дробь на простейшие дроби.

(3x^2 - 4x - 2) / x^2 = (Ax + B) / x^2

3x^2 - 4x - 2 = Ax + B

Теперь найдем значения A и B, соединяя коэффициенты при x слева и справа:

3 = A -4 = B

Итак, получаем, что A = 3 и B = -4. Теперь подставим найденные значения в интеграл:

∫(3x^2 - 4x - 2 / x^2)dx = ∫(3 - 4/x)dx = 3∫dx - 4∫(1/x)dx

Интеграл от функции константы равен самой функции:

3x - 4ln|x| + C

Теперь вычислим определенный интеграл от 1 до 2:

(32 - 4ln|2|) - (31 - 4ln|1|) = 6 - 4ln2 - 3 + 0 = 3 - 4ln2

Ответ: 3 - 4ln2.

Интеграл от (3x^2-4x-2/x^2)dx на отрезке от 1 до 2 равен 0.5.

Чтобы решить данный интеграл (\int_1^2 \frac{3x^2 - 4x - 2}{x^2} \, dx), начнем с упрощения подынтегрального выражения:

1. Делаем разложение дроби: [ \frac{3x^2 - 4x - 2}{x^2} = \frac{3x^2}{x^2} - \frac{4x}{x^2} - \frac{2}{x^2} = 3 - \frac{4}{x} - \frac{2}{x^2} ]

2. Теперь интегрируем каждый член по отдельности: [ \int (3 - \frac{4}{x} - \frac{2}{x^2}) \, dx ]

   • Интегрирование (3) дает (3x).
   • Интегрирование (-\frac{4}{x}) дает (-4 \ln|x|).
   • Интегрирование (-\frac{2}{x^2}) дает (2 \frac{1}{x}) (так как интеграл от (x^{-n}) при (n \neq 1) равен (\frac{x^{-n+1}}{-n+1})).

3. Собираем все вместе: [ \int (3 - \frac{4}{x} - \frac{2}{x^2}) \, dx = 3x - 4 \ln|x| + \frac{2}{x} + C ]

4. Подставляем пределы интегрирования от 1 до 2: [ \left[3x - 4 \ln|x| + \frac{2}{x}\right]_1^2 = \left(3(2) - 4 \ln|2| + \frac{2}{2}\right) - \left(3(1) - 4 \ln|1| + \frac{2}{1}\right) ] [ = (6 - 4 \ln 2 + 1) - (3 - 0 + 2) = 6 - 4 \ln 2 + 1 - 3 - 2 ] [ = 2 - 4 \ln 2 ]

Итак, значение интеграла (\int_1^2 \frac{3x^2 - 4x - 2}{x^2} \, dx) равно (2 - 4 \ln 2).