2y^2-xy=3 и y^2+4yx-3x^2=6 система

Рассмотрим систему уравнений:

[ \begin{cases} 2y^2 - xy = 3 \ y^2 + 4yx - 3x^2 = 6 \end{cases} ]

Для решения этой системы начнем с первого уравнения:

[ 2y^2 - xy = 3 ]

Выразим одну переменную через другую. Попробуем выразить ( y^2 ) через ( x ) и ( y ):

[ 2y^2 - xy = 3 \implies 2y^2 = xy + 3 \implies y^2 = \frac{xy + 3}{2} ]

Теперь подставим это выражение для ( y^2 ) во второе уравнение системы:

[ y^2 + 4yx - 3x^2 = 6 ]

Подставляем:

[ \frac{xy + 3}{2} + 4yx - 3x^2 = 6 ]

Избавимся от дроби, умножив всё уравнение на 2:

[ xy + 3 + 8yx - 6x^2 = 12 ]

Приведем подобные члены:

[ 9xy - 6x^2 + 3 = 12 \implies 9xy - 6x^2 = 9 \implies 3xy - 2x^2 = 3 ]

Сократим на 3:

[ xy - \frac{2}{3}x^2 = 1 ]

Теперь у нас есть два уравнения:

[ \begin{cases} y^2 = \frac{xy + 3}{2} \ xy - \frac{2}{3}x^2 = 1 \end{cases} ]

Выразим ( y ) из второго уравнения:

[ xy = 1 + \frac{2}{3}x^2 \implies y = \frac{1 + \frac{2}{3}x^2}{x} = \frac{1}{x} + \frac{2}{3}x ]

Подставим это выражение для ( y ) в первое уравнение:

[ y^2 = \left(\frac{1}{x} + \frac{2}{3}x\right)^2 = \frac{1}{x^2} + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot x + \left(\frac{2}{3}x\right)^2 = \frac{1}{x^2} + \frac{4}{3} + \frac{4}{9}x^2 ]

И подставим в выражение для ( y^2 ):

[ \frac{xy + 3}{2} = \frac{x\left(\frac{1}{x} + \frac{2}{3}x\right) + 3}{2} = \frac{1 + \frac{2}{3}x^2 + 3}{2} = \frac{4 + \frac{2}{3}x^2}{2} = 2 + \frac{1}{3}x^2 ]

Таким образом, у нас получается уравнение:

[ \frac{1}{x^2} + \frac{4}{3} + \frac{4}{9}x^2 = 2 + \frac{1}{3}x^2 ]

Умножим всё уравнение на 9x^2, чтобы избавиться от дробей:

[ 9 + 12x^2 + 4x^4 = 18x^2 + 3x^4 ]

Приведем подобные члены:

[ 4x^4 - 3x^4 + 12x^2 - 18x^2 + 9 = 0 \implies x^4 - 6x^2 + 9 = 0 ]

Это квадратное уравнение относительно ( x^2 ). Обозначим ( z = x^2 ):

[ z^2 - 6z + 9 = 0 ]

Решим его:

[ (z - 3)^2 = 0 \implies z = 3 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3} ]

Теперь найдем соответствующие значения ( y ). Подставим ( x = \sqrt{3} ) и ( x = -\sqrt{3} ) в выражение для ( y ):

Для ( x = \sqrt{3} ):

[ y = \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{2}{3}\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{2\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} ]

Для ( x = -\sqrt{3} ):

[ y = \frac{1}{-\sqrt{3}} + \frac{2}{3}(-\sqrt{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{2\sqrt{3}}{3} = -\sqrt{3} ]

Таким образом, решения системы:

[ (\sqrt{3}, \sqrt{3}) и (-\sqrt{3}, -\sqrt{3}) ]

Для решения данной системы уравнений сначала преобразуем второе уравнение, чтобы избавиться от переменных смешанного порядка. Умножим второе уравнение на (-1) и перенесем все члены в левую часть:

• y^2 - 4yx + 3x^2 - 6 = 0

Теперь сложим это уравнение с первым уравнением:

2y^2 - xy + y^2 - 4yx + 3x^2 - 6 = 0

Упростим и объединим подобные члены:

3y^2 - 5xy + 3x^2 - 6 = 0

Теперь имеем квадратное уравнение относительно переменной y. Для его решения можно воспользоваться дискриминантом:

D = (-5x)^2 - 4 3 (3x^2 - 6) = 25x^2 - 36(3x^2 - 6) = 25x^2 - 108x^2 + 216

D = -83x^2 + 216

Далее можно найти корни уравнения, используя формулу:

y = (-(-5x) ± √(-83x^2 + 216)) / 6

Таким образом, решением данной системы уравнений будет являться множество упорядоченных пар (x, y), удовлетворяющих условиям обоих уравнений.