(2SIN^2x+11SINx+5)*log(-COSx) по основанию 15 = 0
(2SIN^2x+11SINx+5)*log(-COSx) по основанию 15 = 0
Для решения уравнения ((2\sin^2 x + 11\sin x + 5) \cdot \log_{15}(-\cos x) = 0) необходимо рассмотреть два множителя отдельно, так как произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Рассмотрим первый множитель: [ 2\sin^2 x + 11\sin x + 5 = 0 ] Это квадратное уравнение относительно (\sin x). Обозначим (y = \sin x). Тогда уравнение принимает вид: [ 2y^2 + 11y + 5 = 0 ] Решим его с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 121 - 40 = 81 ] Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два корня: [ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 \pm 9}{4} ] [ y_1 = \frac{-11 + 9}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} ] [ y_2 = \frac{-11 - 9}{4} = \frac{-20}{4} = -5 ] Поскольку (\sin x) может принимать значения только в интервале ([-1, 1]), корень (y_2 = -5) не подходит. Остается (\sin x = -\frac{1}{2}).
Рассмотрим второй множитель: [ \log_{15}(-\cos x) = 0 ] Логарифм равен нулю, когда его аргумент равен 1. Таким образом: [ -\cos x = 1 \quad \Rightarrow \quad \cos x = -1 ]
Теперь найдем значения (x), соответствующие каждому случаю:
Для (\sin x = -\frac{1}{2}), (x) может принимать значения: [ x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]
Для (\cos x = -1), (x) может принимать значение: [ x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]
Таким образом, решения уравнения включают множество значений (x), соответствующих (\sin x = -\frac{1}{2}) и (\cos x = -1). Поскольку оба множителя независимы, объединяем решения: [ x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]
Для решения данного уравнения, сначала необходимо найти значения угла x, при которых выражение (2SIN^2x + 11SINx + 5)*log(-COSx) равно 0.
Поскольку логарифм отрицательного числа не существует в действительных числах, то выражение log(-COSx) равно 0 только в случае, если -COSx равно 1. Это происходит при x = π + 2πn, где n – целое число.
Теперь подставим найденные значения x в исходное уравнение и найдем корни уравнения (2SIN^2x + 11SINx + 5) = 0.
Получаем квадратное уравнение относительно SINx: 2SIN^2x + 11SINx + 5 = 0
Дискриминант D = 11^2 - 425 = 121 - 40 = 81
Таким образом, D > 0, значит уравнение имеет два корня: SINx1 = (-11 + √81) / 4 = -1, SINx2 = (-11 - √81) / 4 = -5/2
Таким образом, корни уравнения (2SIN^2x + 11SINx + 5) = 0 при x = π + 2πn и SINx = -1 или -5/2.
Краткий ответ: решение уравнения не имеет действительных корней.
