2sin^2x-cosx-1=0 Решите Пожалуйста. Покажите как раскрыть скобки при замене на 1-cos^2x

Конечно, давайте подробно разберем решение уравнения ( 2\sin^2{x} - \cos{x} - 1 = 0 ).

Для начала вспомним, что (\sin^2{x} = 1 - \cos^2{x}). Это позволит нам заменить (\sin^2{x}) и упростить уравнение.

1. Подставим (\sin^2{x} = 1 - \cos^2{x}) в исходное уравнение: [ 2\sin^2{x} - \cos{x} - 1 = 0 \implies 2(1 - \cos^2{x}) - \cos{x} - 1 = 0 ]

2. Раскроем скобки: [ 2 - 2\cos^2{x} - \cos{x} - 1 = 0 ]

3. Приведем подобные члены: [ -2\cos^2{x} - \cos{x} + 1 = 0 ]

4. Умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов: [ 2\cos^2{x} + \cos{x} - 1 = 0 ]

Теперь перед нами квадратное уравнение относительно (\cos{x}). Обозначим (\cos{x} = t), тогда уравнение примет вид: [ 2t^2 + t - 1 = 0 ]

1. Решим квадратное уравнение (2t^2 + t - 1 = 0) с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта для уравнения (at^2 + bt + c = 0) — это (D = b^2 - 4ac): [ a = 2, \quad b = 1, \quad c = -1 ] [ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 ]

2. Найдем корни уравнения по формуле: [ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4} ] [ t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} ] [ t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 ]

Таким образом, у нас есть два значения для (\cos{x}): [ \cos{x} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad \cos{x} = -1 ]

1. Теперь найдем (x), используя эти значения.

Для (\cos{x} = \frac{1}{2}): [ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Для (\cos{x} = -1): [ x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Таким образом, общее решение уравнения (2\sin^2{x} - \cos{x} - 1 = 0) имеет вид: [ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Дано уравнение: 2sin^2x - cosx - 1 = 0

Заменим sin^2x на 1 - cos^2x (так как sin^2x = 1 - cos^2x): 2(1 - cos^2x) - cosx - 1 = 0 2 - 2cos^2x - cosx - 1 = 0 -2cos^2x - cosx + 1 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно cosx. Решим его с помощью дискриминанта:

D = (-1)^2 - 4(-2)1 = 1 + 8 = 9

cosx = (-(-1) ± √9) / 2*(-2) cosx = (1 ± 3) / -4

cosx = -1 или cosx = 1/2

Таким образом, решения уравнения 2sin^2x - cosx - 1 = 0: 1) cosx = -1, sinx = ±√(1 - (-1)^2) = ±√2 2) cosx = 1/2, sinx = ±√(1 - (1/2)^2) = ±√3/2

Итак, решения уравнения: x = arcsin(±√2), x = arccos(1/2) + 2πk, x = -arccos(1/2) + 2πk, где k - целое число.