1.Упростите выражение (a+6/3a+9 - 1/a+3)* 3/a-3 - 6/a^2-9 и найдите его значение при a=-1/4 2.Докажите,...

Конечно, давайте разберём оба вопроса.

1. Упростите выражение и найдите его значение при ( a = -\frac{1}{4} )

Дано выражение:

[ \left( \frac{a + 6}{3a + 9} - \frac{1}{a + 3} \right) \cdot \frac{3}{a - 3} - \frac{6}{a^2 - 9} ]

Упрощение:

1. Заметим, что (3a + 9 = 3(a + 3)), и (a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)). Это позволяет нам переписать выражение следующим образом:

[ \frac{a + 6}{3(a + 3)} - \frac{1}{a + 3} ]

1. Приведём к общему знаменателю в скобках:

[ \frac{a + 6}{3(a + 3)} - \frac{3}{3(a + 3)} = \frac{a + 6 - 3}{3(a + 3)} = \frac{a + 3}{3(a + 3)} = \frac{1}{3} ]

1. Подставим это обратно в выражение:

[ \left(\frac{1}{3}\right) \cdot \frac{3}{a - 3} - \frac{6}{(a - 3)(a + 3)} ]

1. Упростим:

[ \frac{1}{a - 3} - \frac{6}{(a - 3)(a + 3)} ]

1. Приведём к общему знаменателю:

[ \frac{(a + 3) - 6}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{a - 3}{(a - 3)(a + 3)} ]

1. Сократим:

[ \frac{1}{a + 3} ]

Подставим ( a = -\frac{1}{4} ):

[ \frac{1}{-\frac{1}{4} + 3} = \frac{1}{\frac{11}{4}} = \frac{4}{11} ]

Таким образом, значение выражения при ( a = -\frac{1}{4} ) равно (\frac{4}{11}).

2. Докажите, что выражение не зависит от значения переменной

Рассмотрим выражение:

[ \left( x - 4 - \frac{x^2 + 4}{x + 4} \right)^2 \cdot \frac{x^2 + 8x + 16}{32} ]

Упрощение:

1. Разложим дробь:

[ \frac{x^2 + 4}{x + 4} = \frac{(x + 4)(x - 4) + 20}{x + 4} = x - 4 + \frac{20}{x + 4} ]

1. Подставим обратно:

[ x - 4 - \left(x - 4 + \frac{20}{x + 4}\right) = -\frac{20}{x + 4} ]

1. Возведём в квадрат:

[ \left(-\frac{20}{x + 4}\right)^2 = \frac{400}{(x + 4)^2} ]

1. Упростите вторую часть:

[ x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2 ]

1. Подставим обратно:

[ \frac{400}{(x + 4)^2} \cdot \frac{(x + 4)^2}{32} = \frac{400}{32} = 12.5 ]

Выражение не зависит от значения переменной, и его значение всегда равно (12.5).

Таким образом, мы доказали, что значение данного выражения не зависит от (x) и всегда равно (12.5).

1. Для упрощения данного выражения сначала выполним операции сложения и вычитания в скобках: (a + 6)/(3a + 9) - 1/(a + 3) = (a + 6 - 3)/(3a + 9) = (a + 3)/(3a + 9) = a/(3a + 9) Теперь умножим полученное выражение на 3/(a - 3): (a/(3a + 9)) * 3/(a - 3) = 3a/(3a^2 + 9a) = a/(a^2 + 3a) Теперь выразим исходное выражение через найденное: (a/(a^2 + 3a)) - 6/(a^2 - 9) = (a/(a(a + 3))) - 6/((a - 3)(a + 3)) = (1/(a + 3)) - (6/(a - 3)(a + 3)) = (1/(a + 3)) - (3/(a - 3)) = (a - 3)/(a^2 - 9) Теперь найдем значение данного выражения при a = -1/4: (-1/4)^2 - 9 = 1/16 - 9 = -143/16

2. Для доказательства независимости значения выражения (x - 4 - (x^2 + 4)/(x + 4))^2 (x^2 + 8x + 16)/32 от значения переменной x, рассмотрим выражение более подробно: (x - 4 - (x^2 + 4)/(x + 4))^2 (x^2 + 8x + 16)/32 = ((x(x + 4) - (x^2 + 4))/(x + 4))^2 (x + 4)^2/32 = ((4 - 4)/(x + 4))^2 (x + 4)^2/32 = (0/(x + 4))^2 (x + 4)^2/32 = 0 (x + 4)^2/32 = 0 Таким образом, независимо от значения переменной x, данное выражение всегда будет равно 0.