Ответы на ваши вопросы требуют применения различных методов алгебры и анализа. Давайте разберем их по порядку:
1. Решить графически систему уравнений:
[
\begin{cases}
-x^2 + 2x + 4 = y \
y + 3x = 8
\end{cases}
]
Сначала выразим ( y ) из второго уравнения:
[
y = 8 - 3x
]
Теперь подставим это выражение в первое уравнение:
[
-x^2 + 2x + 4 = 8 - 3x
]
Приведем уравнение к стандартному виду:
[
-x^2 + 5x - 4 = 0
]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(-1)(-4) = 25 - 16 = 9
]
Корни уравнения:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 3}{-2}
]
Получаем:
[
x_1 = 1, \quad x_2 = 4
]
Подставим значения ( x ) в выражение для ( y ):
[
y = 8 - 3x
]
Для ( x = 1 ):
[
y = 8 - 3 \cdot 1 = 5
]
Для ( x = 4 ):
[
y = 8 - 3 \cdot 4 = -4
]
Таким образом, решения системы:
[
(1, 5), \quad (4, -4)
]
2. Решить систему уравнений:
а)
[
\begin{cases}
2x^2 + y^2 = 18 \
-x^2 + 3y = -9
\end{cases}
]
Решим второе уравнение относительно ( y ):
[
3y = x^2 - 9 \implies y = \frac{x^2 - 9}{3}
]
Подставим это в первое уравнение:
[
2x^2 + \left(\frac{x^2 - 9}{3}\right)^2 = 18
]
Упростим выражение:
[
2x^2 + \frac{(x^2 - 9)^2}{9} = 18
]
Приведем уравнение к общему знаменателю:
[
18x^2 + (x^2 - 9)^2 = 162
]
Решим уравнение численно или аналитически, если возможно, и найдём (x) и (y).
б)
[
\begin{cases}
(xy - 1)^2 - 3(xy - 1) - 28 = 0 \
x - 3y = 2
\end{cases}
]
Обозначим ( z = xy - 1 ):
[
z^2 - 3z - 28 = 0
]
Решим квадратное уравнение:
[
D = 9 + 112 = 121 \implies z = \frac{3 \pm 11}{2}
]
Получаем:
[
z_1 = 7, \quad z_2 = -4
]
Соответственно:
[
xy - 1 = 7 \implies xy = 8
]
[
xy - 1 = -4 \implies xy = -3
]
Решим ( x - 3y = 2 ) совместно с найденными значениями ( xy ).
3. Две ремонтные бригады, работая одновременно, могут отремонтировать мост за 10 дней.
Обозначим время, за которое первая бригада ремонтирует мост, как ( x ) дней, а вторая как ( x + 15 ) дней.
Скорость работы первой бригады ( \frac{1}{x} ), второй ( \frac{1}{x+15} ). Совместная скорость:
[
\frac{1}{x} + \frac{1}{x+15} = \frac{1}{10}
]
Решим это уравнение:
[
\frac{(x + 15) + x}{x(x + 15)} = \frac{1}{10}
]
[
\frac{2x + 15}{x^2 + 15x} = \frac{1}{10}
]
Решим это уравнение численно или аналитически.
4. Построить график уравнения:
[
(x^2 - 8x + y^2 + 6y)(y - |x|) = 0
]
Это уравнение представляет собой объединение графиков:
[
x^2 - 8x + y^2 + 6y = 0
]
и
[
y = |x|
]
Рассмотрим сначала уравнение (x^2 - 8x + y^2 + 6y = 0):
[
(x - 4)^2 - 16 + (y + 3)^2 - 9 = 0 \implies (x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 25
]
Это окружность с центром в точке (4, -3) и радиусом 5.
График ( y = |x| ) — это две прямые: ( y = x ) и ( y = -x ).
Совместно эти графики и дают решение.
5. При каком значении параметра ( p ) система уравнений:
[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 6 \
y - x^2 = p
\end{cases}
]
имеет одно решение?
Подставим ( y = p + x^2 ) в первое уравнение:
[
x^2 + (p + x^2)^2 = 6
]
Рассмотрим полученное уравнение:
[
x^2 + p^2 + 2px^2 + x^4 = 6
]
Ищем значение ( p ), при котором уравнение имеет одно решение. Это происходит, когда дискриминант равен нулю или при других условиях, которые приводят к единственному решению.
Решим это уравнение численно или аналитически для нахождения ( p ).
