1.Катер прошел 18 км по течению реки и 24 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость катера равно 15 км/ч.
Для решения данной задачи воспользуемся формулой расстояния: расстояние = скорость * время.
Пусть скорость течения реки равна V, тогда скорость катера по течению будет равна 15 + V км/ч, а против течения - 15 - V км/ч.
После упрощения и приведения к общему знаменателю получаем: (18 (15 - V) + 24 (15 + V)) / ((15 + V) * (15 - V)) = 3, (270 - 18V + 360 + 24V) / (225 - V^2) = 3, (630 + 6V) / (225 - V^2) = 3, 630 + 6V = 675 - 3V^2, 3V^2 + 6V - 45 = 0, V^2 + 2V - 15 = 0, (V + 5)(V - 3) = 0.
Отсюда получаем два варианта: V = -5 (невозможный вариант, так как скорость не может быть отрицательной) и V = 3 км/ч.
Итак, скорость течения реки равна 3 км/ч.
После упрощения и приведения к общему знаменателю получаем: (9 (16 - V) + 21 (16 + V)) / ((16 + V) * (16 - V)) = 2, (144 - 9V + 336 + 21V) / (256 - V^2) = 2, (480 + 12V) / (256 - V^2) = 2, 480 + 12V = 512 - 2V^2, 2V^2 + 12V - 32 = 0, V^2 + 6V - 16 = 0, (V + 8)(V - 2) = 0.
Отсюда получаем два варианта: V = -8 (невозможный вариант) и V = 2 км/ч.
Итак, скорость течения реки равна 2 км/ч.
Рассмотрим обе задачи последовательно, используя основные понятия алгебры и движения по реке.
Дано:
Найти: скорость течения реки ( v_r ).
Скорость катера против течения: ( v_c - v_r ).
Время в пути по течению: ( t_1 = \frac{18}{v_c + v_r} ).
Время в пути против течения: ( t_2 = \frac{24}{v_c - v_r} ).
Общее время в пути: ( t_1 + t_2 = 3 ) ч.
Подставим известные данные в уравнение: [ \frac{18}{15 + v_r} + \frac{24}{15 - v_r} = 3. ]
Решим это уравнение. Введем замену ( v_r = x ): [ \frac{18}{15 + x} + \frac{24}{15 - x} = 3. ]
Приведем к общему знаменателю: [ \frac{18(15 - x) + 24(15 + x)}{(15 + x)(15 - x)} = 3. ]
Упростим числитель: [ 18(15 - x) + 24(15 + x) = 270 - 18x + 360 + 24x = 630 + 6x. ]
Упростим знаменатель: [ (15 + x)(15 - x) = 225 - x^2. ]
Получим уравнение: [ \frac{630 + 6x}{225 - x^2} = 3. ]
Перемножим: [ 630 + 6x = 3(225 - x^2). ]
Раскроем скобки: [ 630 + 6x = 675 - 3x^2. ]
Перенесем все в одну сторону: [ 3x^2 + 6x - 45 = 0. ]
Разделим на 3: [ x^2 + 2x - 15 = 0. ]
Решим квадратное уравнение: [ x^2 + 2x - 15 = 0. ]
Дискриминант: [ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64. ]
Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 8}{2}. ]
Корни: [ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-10}{2} = -5. ]
Скорость течения реки не может быть отрицательной, значит ( x = 3 ).
Ответ: Скорость течения реки ( v_r = 3 ) км/ч.
Дано:
Найти: скорость течения реки ( v_r ).
Скорость катера против течения: ( v_c - v_r ).
Время в пути по течению: ( t_1 = \frac{9}{v_c + v_r} ).
Время в пути против течения: ( t_2 = \frac{21}{v_c - v_r} ).
Общее время в пути: ( t_1 + t_2 = 2 ) ч.
Подставим известные данные в уравнение: [ \frac{9}{16 + v_r} + \frac{21}{16 - v_r} = 2. ]
Решим это уравнение. Введем замену ( v_r = x ): [ \frac{9}{16 + x} + \frac{21}{16 - x} = 2. ]
Приведем к общему знаменателю: [ \frac{9(16 - x) + 21(16 + x)}{(16 + x)(16 - x)} = 2. ]
Упростим числитель: [ 9(16 - x) + 21(16 + x) = 144 - 9x + 336 + 21x = 480 + 12x. ]
Упростим знаменатель: [ (16 + x)(16 - x) = 256 - x^2. ]
Получим уравнение: [ \frac{480 + 12x}{256 - x^2} = 2. ]
Перемножим: [ 480 + 12x = 2(256 - x^2). ]
Раскроем скобки: [ 480 + 12x = 512 - 2x^2. ]
Перенесем все в одну сторону: [ 2x^2 + 12x - 32 = 0. ]
Разделим на 2: [ x^2 + 6x - 16 = 0. ]
Решим квадратное уравнение: [ x^2 + 6x - 16 = 0. ]
Дискриминант: [ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100. ]
Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 10}{2}. ]
Корни: [ x_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-16}{2} = -8. ]
Скорость течения реки не может быть отрицательной, значит ( x = 2 ).
Ответ: Скорость течения реки ( v_r = 2 ) км/ч.
