1)Даны векторы а=(2,3,-1),b=(0,1,4),c=(1,0,3).Определите координаты вектора:а)2a-b-2c,
b)а+2b+3c
2)Составить уравнение плоскости,проходящей через A(1,2,3),B(-3,-2,-1), и О(0,0,0).
1)Даны векторы а=(2,3,-1),b=(0,1,4),c=(1,0,3).Определите координаты вектора:а)2a-b-2c,
b)а+2b+3c
2)Составить уравнение плоскости,проходящей через A(1,2,3),B(-3,-2,-1), и О(0,0,0).
Итак, у нас даны три вектора: [ \mathbf{a} = (2, 3, -1), \quad \mathbf{b} = (0, 1, 4), \quad \mathbf{c} = (1, 0, 3). ]
Умножим вектор ( \mathbf{a} ) на 2: [ 2\mathbf{a} = 2 \cdot (2, 3, -1) = (4, 6, -2). ]
Оставим вектор ( \mathbf{b} ) без изменений: [ \mathbf{b} = (0, 1, 4). ]
Умножим вектор ( \mathbf{c} ) на 2: [ 2\mathbf{c} = 2 \cdot (1, 0, 3) = (2, 0, 6). ]
Теперь выполним операцию ( 2\mathbf{a} - \mathbf{b} - 2\mathbf{c} ): [ 2\mathbf{a} - \mathbf{b} - 2\mathbf{c} = (4, 6, -2) - (0, 1, 4) - (2, 0, 6). ]
Выполняем вычитание покоординатно:
Итак, ( 2\mathbf{a} - \mathbf{b} - 2\mathbf{c} = (2, 5, -12) ).
Оставим вектор ( \mathbf{a} ) без изменений: [ \mathbf{a} = (2, 3, -1). ]
Умножим вектор ( \mathbf{b} ) на 2: [ 2\mathbf{b} = 2 \cdot (0, 1, 4) = (0, 2, 8). ]
Умножим вектор ( \mathbf{c} ) на 3: [ 3\mathbf{c} = 3 \cdot (1, 0, 3) = (3, 0, 9). ]
Теперь выполним операцию ( \mathbf{a} + 2\mathbf{b} + 3\mathbf{c} ): [ \mathbf{a} + 2\mathbf{b} + 3\mathbf{c} = (2, 3, -1) + (0, 2, 8) + (3, 0, 9). ]
Складываем покоординатно:
Итак, ( \mathbf{a} + 2\mathbf{b} + 3\mathbf{c} = (5, 5, 16) ).
У нас заданы три точки, через которые проходит плоскость: [ A(1, 2, 3), \quad B(-3, -2, -1), \quad O(0, 0, 0). ]
Построим вектор ( \mathbf{AB} ) из точек ( A ) и ( B ): [ \mathbf{AB} = B - A = (-3, -2, -1) - (1, 2, 3) = (-4, -4, -4). ]
Построим вектор ( \mathbf{AO} ) из точек ( A ) и ( O ): [ \mathbf{AO} = O - A = (0, 0, 0) - (1, 2, 3) = (-1, -2, -3). ]
Векторное произведение двух векторов ( \mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3) ) и ( \mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3) ) вычисляется по формуле: [ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ u_1 & u_2 & u_3 \ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}. ]
Подставим ( \mathbf{u} = \mathbf{AB} = (-4, -4, -4) ) и ( \mathbf{v} = \mathbf{AO} = (-1, -2, -3) ): [ \mathbf{AB} \times \mathbf{AO} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -4 & -4 & -4 \ -1 & -2 & -3 \end{vmatrix}. ]
Раскрываем определитель: [ \mathbf{AB} \times \mathbf{AO} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} -4 & -4 \ -2 & -3 \end{vmatrix}
Считаем миноры: [ \begin{vmatrix} -4 & -4 \ -2 & -3 \end{vmatrix} = (-4)(-3) - (-4)(-2) = 12 - 8 = 4, ] [ \begin{vmatrix} -4 & -4 \ -1 & -3 \end{vmatrix} = (-4)(-3) - (-4)(-1) = 12 - 4 = 8, ] [ \begin{vmatrix} -4 & -4 \ -1 & -2 \end{vmatrix} = (-4)(-2) - (-4)(-1) = 8 - 4 = 4. ]
Подставляем миноры: [ \mathbf{AB} \times \mathbf{AO} = \mathbf{i}(4) - \mathbf{j}(8) + \mathbf{k}(4). ]
Записываем векторное произведение: [ \mathbf{AB} \times \mathbf{AO} = (4, -8, 4). ]
Нормальный вектор плоскости равен ( \mathbf{n} = (4, -8, 4) ). Уравнение плоскости имеет вид: [ 4x - 8y + 4z + D = 0. ]
Подставим точку ( A(1, 2, 3) ) в уравнение, чтобы найти ( D ): [ 4(1) - 8(2) + 4(3) + D = 0, ] [ 4 - 16 + 12 + D = 0, ] [ D = 0. ]
Итак, уравнение плоскости: [ 4x - 8y + 4z = 0. ]
Или, сократив на 4: [ x - 2y + z = 0. ]
Давайте решим оба задания по очереди.
Имеем векторы:
Сначала найдем ( 2\mathbf{a} ): [ 2\mathbf{a} = 2 \cdot (2, 3, -1) = (4, 6, -2) ]
Далее вычислим ( -\mathbf{b} ): [ -\mathbf{b} = -(0, 1, 4) = (0, -1, -4) ]
Теперь найдем ( -2\mathbf{c} ): [ -2\mathbf{c} = -2 \cdot (1, 0, 3) = (-2, 0, -6) ]
Теперь сложим все результаты: [ 2\mathbf{a} - \mathbf{b} - 2\mathbf{c} = (4, 6, -2) + (0, -1, -4) + (-2, 0, -6) ]
Сложим компоненты:
Таким образом, координаты вектора ( 2\mathbf{a} - \mathbf{b} - 2\mathbf{c} ) равны ( (2, 5, -12) ).
Начнем с ( 2\mathbf{b} ): [ 2\mathbf{b} = 2 \cdot (0, 1, 4) = (0, 2, 8) ]
Затем ( 3\mathbf{c} ): [ 3\mathbf{c} = 3 \cdot (1, 0, 3) = (3, 0, 9) ]
Теперь сложим векторы: [ \mathbf{a} + 2\mathbf{b} + 3\mathbf{c} = (2, 3, -1) + (0, 2, 8) + (3, 0, 9) ]
Сложим компоненты:
Таким образом, координаты вектора ( \mathbf{a} + 2\mathbf{b} + 3\mathbf{c} ) равны ( (5, 5, 16) ).
Даны точки:
Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три точки, можно использовать векторное произведение.
Сначала найдём векторы ( \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{AO} ): [ \mathbf{AB} = B - A = (-3 - 1, -2 - 2, -1 - 3) = (-4, -4, -4) ] [ \mathbf{AO} = O - A = (0 - 1, 0 - 2, 0 - 3) = (-1, -2, -3) ]
Теперь найдем векторное произведение ( \mathbf{AB} \times \mathbf{AO} ): [ \mathbf{n} = \mathbf{AB} \times \mathbf{AO} ] [ \mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -4 & -4 & -4 \ -1 & -2 & -3 \end{vmatrix} ] Вычислим определитель: [ \mathbf{n} = \mathbf{i}((-4)(-3) - (-4)(-2)) - \mathbf{j}((-4)(-3) - (-4)(-1)) + \mathbf{k}((-4)(-2) - (-4)(-1)) ] [ = \mathbf{i}(12 - 8) - \mathbf{j}(12 - 4) + \mathbf{k}(8 - 4) ] [ = \mathbf{i}(4) - \mathbf{j}(8) + \mathbf{k}(4) ] Таким образом, нормальный вектор плоскости: [ \mathbf{n} = (4, -8, 4) ]
Уравнение плоскости имеет вид: [ 4(x - x_0) - 8(y - y_0) + 4(z - z_0) = 0 ] Подставляем координаты точки ( A(1, 2, 3) ): [ 4(x - 1) - 8(y - 2) + 4(z - 3) = 0 ] Раскроем скобки: [ 4x - 4 - 8y + 16 + 4z - 12 = 0 ] Упростим: [ 4x - 8y + 4z = 0 ] Или, деля на 4: [ x - 2y + z = 0 ]
Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки ( A ), ( B ) и ( O ), будет: [ x - 2y + z = 0 ]
