1.Дана геометрическая прогрессия 2;4;8;. а)Найдите 6 член прогрессии б)найдите сумму первых 6 членов прогрессии. 2.Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии (bn),если b1=24 q=1/2 3.В геомктрической прогрессии(сn) с5=162 q=-3 а)Найдите с1 б)Какие из членов данной прогрессии отрицательны?
Давай разберём каждый вопрос по порядку.
а) Найдите 6-й член прогрессии. б) Найдите сумму первых 6 членов прогрессии.
Геометрическая прогрессия определяется первым членом (a_1) и знаменателем (q). В данном случае (a_1 = 2) и (q = \frac{4}{2} = 2).
Формула n-го члена геометрической прогрессии: [ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} ]
Для 6-го члена: [ a_6 = 2 \cdot 2^{6-1} = 2 \cdot 2^5 = 2 \cdot 32 = 64 ]
Ответ: 6-й член прогрессии равен 64.
Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии: [ S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} ]
Для первых 6 членов: [ S_6 = 2 \frac{2^6 - 1}{2 - 1} = 2 \frac{64 - 1}{1} = 2 \cdot 63 = 126 ]
Ответ: Сумма первых 6 членов прогрессии равна 126.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии существует только тогда, когда (|q| < 1). В данном случае (|\frac{1}{2}| < 1), значит, сумма существует.
Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии: [ S_{\infty} = \frac{b_1}{1 - q} ]
Для данных (b1 = 24) и (q = \frac{1}{2}): [ S{\infty} = \frac{24}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{24}{0.5} = 48 ]
Ответ: Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 48.
а) Найдите (c_1). б) Какие из членов данной прогрессии отрицательны?
Формула n-го члена геометрической прогрессии: [ c_n = c_1 \cdot q^{n-1} ]
Для 5-го члена: [ c_5 = c_1 \cdot q^{5-1} = c_1 \cdot q^4 ]
Подставим значения (c_5 = 162) и (q = -3): [ 162 = c_1 \cdot (-3)^4 ] [ 162 = c_1 \cdot 81 ] [ c_1 = \frac{162}{81} = 2 ]
Ответ: (c_1) равен 2.
В геометрической прогрессии со знаменателем (q = -3) члены будут чередоваться по знаку. Четные степени отрицательного числа дают положительное число, а нечетные — отрицательное.
Формула для определения знака: [ c_n = c_1 \cdot q^{n-1} ]
Если (n) нечётное, то степень (q^{n-1}) будет чётной, и (q^{n-1}) будет положительным (так как (q) отрицателен).
Если (n) чётное, то степень (q^{n-1}) будет нечётной, и (q^{n-1}) будет отрицательным.
Таким образом, члены с чётными номерами будут отрицательными: [ c_2, c_4, c_6, \ldots ]
Ответ: Члены прогрессии с чётными номерами отрицательны.
a) Чтобы найти 6-й член геометрической прогрессии, мы можем использовать формулу общего члена прогрессии: an = a1 q^(n-1), где an - n-й член прогрессии, a1 - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии, n - номер члена. Таким образом, для данной прогрессии с a1=2 и q=2, мы получим: a6 = 2 2^(6-1) = 2 2^5 = 2 32 = 64.
b) Чтобы найти сумму первых 6 членов геометрической прогрессии, мы можем использовать формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии: Sn = a1 (1 - q^n) / (1 - q), где Sn - сумма первых n членов прогрессии. Для нашей прогрессии с a1=2, q=2 и n=6, мы получим: S6 = 2 (1 - 2^6) / (1 - 2) = 2 (1 - 64) / -1 = 2 (-63) / -1 = 126.
Для бесконечной геометрической прогрессии с b1=24 и q=1/2, сумма такой прогрессии будет равна S = b1 / (1 - q) = 24 / (1 - 1/2) = 24 / (1/2) = 24 * 2 = 48.
a) Для геометрической прогрессии с c5=162 и q=-3, мы можем найти первый член с1, используя формулу общего члена прогрессии: cn = c1 * q^(n-1). Таким образом, c1 = c5 / q^(5-1) = 162 / (-3)^4 = 162 / 81 = 2.
b) Чтобы найти отрицательные члены данной прогрессии, мы можем проверить знаки разности между соседними членами. Так как q=-3, каждый следующий член будет иметь противоположный знак по сравнению с предыдущим. Таким образом, отрицательными будут четные члены прогрессии.
а) 6-й член прогрессии: 16 б) Сумма первых 6 членов прогрессии: 62
а) c1 = 486 б) Отрицательными являются четные члены данной прогрессии.
