Нахождение номера члена арифметической прогрессии, равного -15.8:
Дана арифметическая прогрессия: 8.2, 6.6, .
Формула общего члена арифметической прогрессии: ( a_n = a_1 + (n-1) \cdot d )
где ( a_1 = 8.2 ) — первый член, и ( d ) — разность прогрессии.
Чтобы найти разность ( d ), вычтем второй член из первого:
[
d = 6.6 - 8.2 = -1.6
]
Нужно найти ( n ), для которого ( a_n = -15.8 ):
[
-15.8 = 8.2 + (n-1) \cdot (-1.6)
]
Решим уравнение:
[
-15.8 = 8.2 - 1.6n + 1.6
]
[
-15.8 = 9.8 - 1.6n
]
[
-25.6 = -1.6n
]
[
n = \frac{25.6}{1.6} = 16
]
Таким образом, номер члена, равного -15.8, равен 16.
Найти сумму первых четырнадцати членов арифметической прогрессии:
Формула общего члена: ( a_n = 5n - 1 )
Найдем первый член ( a1 ) и четырнадцатый ( a{14} ):
[
a_1 = 5 \cdot 1 - 1 = 4
]
[
a_{14} = 5 \cdot 14 - 1 = 69
]
Сумма первых ( n ) членов арифметической прогрессии:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)
]
Для 14 членов:
[
S_{14} = \frac{14}{2} \cdot (4 + 69) = 7 \cdot 73 = 511
]
Найти первый член прогрессии, если третий член равен 6, а пятый равен 10:
Формула членов: ( a_n = a_1 + (n-1) \cdot d )
Даны:
[
a_3 = a_1 + 2d = 6
]
[
a_5 = a_1 + 4d = 10
]
Вычтем первое уравнение из второго:
[
(a_1 + 4d) - (a_1 + 2d) = 10 - 6
]
[
2d = 4 \implies d = 2
]
Подставим ( d = 2 ) в уравнение для ( a_3 ):
[
a_1 + 2 \cdot 2 = 6
]
[
a_1 + 4 = 6 \implies a_1 = 2
]
Таким образом, первый член прогрессии равен 2.
Найти четвертый член геометрической прогрессии:
Дана прогрессия: 8; -4; .
Формула общего члена геометрической прогрессии: ( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} )
где ( b_1 = 8 ), а ( q ) — знаменатель прогрессии.
Найдем ( q ):
[
q = \frac{-4}{8} = -0.5
]
Найдем четвертый член:
[
b_4 = 8 \cdot (-0.5)^{3} = 8 \cdot (-0.125) = -1
]
Найти номер члена геометрической прогрессии, равного (\frac{1}{32}):
Дана прогрессия: 8; -4; .
Мы уже нашли ( q = -0.5 ).
Нужно найти ( n ), для которого ( b_n = \frac{1}{32} ):
[
\frac{1}{32} = 8 \cdot (-0.5)^{n-1}
]
[
(-0.5)^{n-1} = \frac{1}{256}
]
Поскольку ((-0.5)^4 = \frac{1}{16}), а ((-0.5)^8 = \frac{1}{256}), то:
[
n - 1 = 8 \implies n = 9
]
Найти сумму первых десяти членов геометрической прогрессии:
Формула прогрессии: ( b_n = 2^{n-3} )
Первый член:
[
b_1 = 2^{1-3} = 2^{-2} = \frac{1}{4}
]
Знаменатель прогрессии:
[
q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2^{-1}}{2^{-2}} = 2
]
Сумма первых ( n ) членов геометрической прогрессии:
[
S_n = b_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}
]
Для 10 членов:
[
S_{10} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = \frac{1}{4} \cdot (1024 - 1) = \frac{1023}{4} = 255.75
]
Это решения для заданных задач.
