13. Используя единичную окружность, найдите знак разности: а) sin 255˚ – sin 115˚; б) cos 30˚ – ctg...

Давайте разберем каждый вопрос по отдельности, используя единичную окружность и правила знаков тригонометрических функций в различных четвертях.

13. Знак разности:

а) ( \sin 255^\circ - \sin 115^\circ )

1. Синус в четвертях:

   • ( \sin 255^\circ ): угол 255° находится в третьей четверти, где синус отрицателен.
   • ( \sin 115^\circ ): угол 115° находится во второй четверти, где синус положителен.

2. Разность: ( \sin 255^\circ ) отрицателен, а ( \sin 115^\circ ) положителен. Следовательно, разность ( \sin 255^\circ - \sin 115^\circ ) будет отрицательной, так как вычитается большее положительное значение из отрицательного.

б) ( \cos 30^\circ - \cot 30^\circ )

1. Косинус и котангенс:

   • ( \cos 30^\circ ) положителен, так как 30° находится в первой четверти.
   • ( \cot 30^\circ = \frac{1}{\tan 30^\circ} = \sqrt{3} ), и это также положительное значение.

2. Разность: Оба значения положительны, но ( \cot 30^\circ ) больше, чем ( \cos 30^\circ ). Следовательно, разность будет отрицательной.

14. Знак произведения:

а) ( \cos 160^\circ \cdot \tan 250^\circ )

1. Косинус и тангенс в четвертях:

   • ( \cos 160^\circ ): угол 160° во второй четверти, где косинус отрицателен.
   • ( \tan 250^\circ ): угол 250° в третьей четверти, где тангенс положителен.

2. Произведение: Отрицательное число на положительное дает отрицательное произведение.

б) ( \tan(x) \cdot \cot(x) )

1. Тождество: ( \tan(x) \cdot \cot(x) = 1 ) для всех ( x ), где определены обе функции, поскольку ( \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} ).

2. Произведение: Положительное, так как всегда равно 1.

в) ( \tan 1.3 \cdot \cot(-1.4) \cdot \sin(-0.9) )

1. Знаки функций:

   • ( \tan 1.3 ): угол в первой четверти, тангенс положителен.
   • ( \cot(-1.4) ): угол -1.4 радиан в четвертой четверти. Котангенс там положителен.
   • ( \sin(-0.9) ): угол -0.9 радиан в четвертой четверти, синус отрицателен.

2. Произведение: Положительное число на положительное и на отрицательное даёт отрицательное произведение.

Таким образом, в каждом из примеров мы определили знак разности или произведения, используя единичную окружность и знание о знаках тригонометрических функций в различных четвертях.

1. а) Для нахождения разности sin 255˚ – sin 115˚ используем формулу для разности синусов: sin(a) - sin(b) = 2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2). Подставляем значения: sin 255˚ – sin 115˚ = 2cos(185˚)sin(70˚). Теперь определяем знаки: в третьей четверти угол cos(185˚) отрицателен, а sin(70˚) положителен, поэтому разность sin 255˚ – sin 115˚ положительна.

б) Для нахождения разности cos 30˚ – ctg 30˚ преобразуем ctg 30˚ в cos 30˚/sin 30˚. Теперь можем записать: cos 30˚ - cos 30˚/sin 30˚ = cos 30˚(1 - 1/sin 30˚) = cos 30˚(sin 30˚ - 1)/sin 30˚. Знак разности будет зависеть от знака sin 30˚, который в первой четверти положителен, следовательно разность cos 30˚ – ctg 30˚ отрицательна.

1. а) Для нахождения произведения cos 160˚ tg 250˚ используем правило знаков по четвертям. Во второй четверти угол cos 160˚ положителен, а tg 250˚ отрицателен, следовательно произведение будет отрицательным.

б) tg ctg = 1, так как tg и ctg обратны друг другу.

в) Для нахождения произведения tg 1,3 ctg (–1,4) sin (–0,9) рассмотрим знаки в каждом члене. В первой четверти угол tg 1,3 положителен, ctg (–1,4) отрицателен, а sin (–0,9) также отрицателен. Следовательно, произведение будет положительным.

1. а) sin 255˚ – sin 115˚ = sin (255˚ - 180˚) - sin (115˚) = sin 75˚ - sin 115˚ б) cos 30˚ – ctg 30˚ = cos 30˚ - 1/tan 30˚ = cos 30˚ - cot 30˚

14. а) cos 160˚ tg 250˚ = cos (160˚ + 180˚) tan (250˚ - 180˚) б) tg ctg = tan (90˚) cot (180˚) в) tg 1,3 ctg (–1,4) sin (–0,9) = tan 1,3 cot (-1,4) sin (-0,9)