(√10+√6)/(√10-√6)-(√10-√6)/(√10+√6) Упростите выражение
(√10+√6)/(√10-√6)-(√10-√6)/(√10+√6) Упростите выражение
Для упрощения данного выражения мы будем использовать метод рационализации знаменателей. Рассмотрим выражение: [ \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{\sqrt{10} - \sqrt{6}} - \frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{\sqrt{10} + \sqrt{6}} ]
Первым шагом вычислим знаменатели, умножив числитель и знаменатель каждой дроби на сопряженные выражения.
В числителе получаем: [ (\sqrt{10} + \sqrt{6})^2 = 10 + 2\sqrt{60} + 6 = 16 + 2\sqrt{60} ]
В знаменателе, используя формулу разности квадратов ((a - b)(a + b) = a^2 - b^2): [ (\sqrt{10})^2 - (\sqrt{6})^2 = 10 - 6 = 4 ]
Таким образом, первая дробь упрощается до: [ \frac{16 + 2\sqrt{60}}{4} = 4 + \frac{\sqrt{60}}{2} = 4 + \sqrt{15} ]
В числителе: [ (\sqrt{10} - \sqrt{6})^2 = 10 - 2\sqrt{60} + 6 = 16 - 2\sqrt{60} ]
В знаменателе: [ (\sqrt{10})^2 - (\sqrt{6})^2 = 10 - 6 = 4 ]
Таким образом, вторая дробь упрощается до: [ \frac{16 - 2\sqrt{60}}{4} = 4 - \frac{\sqrt{60}}{2} = 4 - \sqrt{15} ]
Теперь, подставим упрощенные дроби в исходное выражение: [ (4 + \sqrt{15}) - (4 - \sqrt{15}) ]
Складываем и вычитаем: [ 4 + \sqrt{15} - 4 + \sqrt{15} = 2\sqrt{15} ]
Таким образом, упрощенное выражение равно: [ 2\sqrt{15} ]
Для упрощения данного выражения сначала умножим числитель и знаменатель первого слагаемого на (√10+√6), а числитель и знаменатель второго слагаемого на (√10-√6):
(√10+√6) (√10+√6) = 10 + 2√60 + 6 = 16 + 2√60 (√10-√6) (√10-√6) = 10 - 2√60 + 6 = 16 - 2√60
Подставляем полученные значения в выражение:
(16 + 2√60) / (16 - 2√60) - (16 - 2√60) / (16 + 2√60)
Далее упрощаем выражение, используя формулу разности квадратов:
(16 + 2√60) / (16 - 2√60) - (16 - 2√60) / (16 + 2√60) = [(16 + 2√60) (16 + 2√60) - (16 - 2√60) (16 - 2√60)] / [(16 - 2√60) * (16 + 2√60)]
Раскрываем скобки и упрощаем:
(256 + 64√60 + 60 - 256 + 64√60 - 60) / (256 - 4 * 60) = (128√60) / 16 = 8√60
Итак, упрощенное выражение равно 8√60.
