1) Запишите конечные десятичные дроби: 0,7 ; 1,4 ; 2,75 в виде обыкновенных дробей.
2) Запишите периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной: 2,(13) ; 0,4(45)
1) Запишите конечные десятичные дроби: 0,7 ; 1,4 ; 2,75 в виде обыкновенных дробей.
2) Запишите периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной: 2,(13) ; 0,4(45)
Конечные и периодические десятичные дроби можно записать в виде обыкновенных дробей. Рассмотрим каждую из них.
Конечные десятичные дроби:
( 0,7 ):
Для преобразования этой дроби в обыкновенную, заметим, что 0,7 — это 7 десятых. Можно записать это как: [ 0,7 = \frac{7}{10} ] Так как числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме 1, эта дробь уже в наибольшем общем виде.
( 1,4 ):
1,4 — это 1 целое и 4 десятых. Можно записать это как: [ 1,4 = 1 + \frac{4}{10} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} + \frac{2}{5} = \frac{5+2}{5} = \frac{7}{5} ] Таким образом, 1,4 в виде обыкновенной дроби — это (\frac{7}{5}).
( 2,75 ):
2,75 — это 2 целых и 75 сотых. Можно записать это как: [ 2,75 = 2 + \frac{75}{100} ] Упростим дробь (\frac{75}{100}). Оба числа делятся на 25: [ \frac{75}{100} = \frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4} ] Теперь сложим: [ 2,75 = 2 + \frac{3}{4} = \frac{8}{4} + \frac{3}{4} = \frac{8+3}{4} = \frac{11}{4} ] Таким образом, 2,75 в виде обыкновенной дроби — это (\frac{11}{4}).
Периодические десятичные дроби:
( 2,(13) ):
Пусть ( x = 2,(13) ). Тогда можно записать дробь как: [ x = 2 + 0,(13) ] Пусть ( y = 0,(13) ). Тогда: [ 100y = 13,(13) ] Это означает, что: [ 100y = 13 + y ] Вычтем ( y ) из обеих частей уравнения: [ 100y - y = 13 ] [ 99y = 13 ] [ y = \frac{13}{99} ] Теперь вернемся к ( x ): [ x = 2 + \frac{13}{99} = \frac{2 \cdot 99 + 13}{99} = \frac{198 + 13}{99} = \frac{211}{99} ] Таким образом, ( 2,(13) ) в виде обыкновенной дроби — это (\frac{211}{99}).
( 0,4(45) ):
Пусть ( x = 0,4(45) ). Тогда можно записать дробь как: [ x = 0,4 + 0,(45) ] Пусть ( y = 0,(45) ). Тогда: [ 100y = 45,(45) ] Это означает, что: [ 100y = 45 + y ] Вычтем ( y ) из обеих частей уравнения: [ 100y - y = 45 ] [ 99y = 45 ] [ y = \frac{45}{99} ] Упростим дробь (\frac{45}{99}), поделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 9: [ y = \frac{45 \div 9}{99 \div 9} = \frac{5}{11} ] Теперь вернемся к ( x ): [ x = 0,4 + \frac{5}{11} = \frac{4}{10} + \frac{5}{11} = \frac{2}{5} + \frac{5}{11} ] Найдем общий знаменатель, который равен 55: [ \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 11}{5 \cdot 11} = \frac{22}{55} ] [ \frac{5}{11} = \frac{5 \cdot 5}{11 \cdot 5} = \frac{25}{55} ] Теперь сложим дроби: [ x = \frac{22}{55} + \frac{25}{55} = \frac{22 + 25}{55} = \frac{47}{55} ] Таким образом, ( 0,4(45) ) в виде обыкновенной дроби — это (\frac{47}{55}).
1)
2)
