1. Таблица 3×3 заполнена девятью числами так, что числа каждой строки и каждого столбца образуют арифметическую...

Вопрос 1:

У нас есть таблица 3×3, в которой каждая строка и каждый столбец составляют арифметическую прогрессию. Это значит, что если элементы первой строки обозначить как (a), (a+d_1), (a+2d_1), то элементы второй строки будут (b), (b+d_2), (b+2d_2), и для третьей строки аналогично (c), (c+d_3), (c+2d_3).

Кроме того, столбцы также образуют прогрессии:

• Первый столбец: (a), (b), (c)
• Второй столбец: (a+d_1), (b+d_2), (c+d_3)
• Третий столбец: (a+2d_1), (b+2d_2), (c+2d_3)

Для угловых элементов имеем: (a), (a+2d_1), (c), (c+2d_3). Их сумма равна 892: [ a + (a+2d_1) + c + (c+2d_3) = 2a + 2c + 2d_1 + 2d_3 = 892 ] Упростим: [ a + c + d_1 + d_3 = 446 ]

Теперь найдем сумму всех чисел таблицы. Сумма всех чисел в таблице: [ (a + (a+d_1) + (a+2d_1)) + (b + (b+d_2) + (b+2d_2)) + (c + (c+d_3) + (c+2d_3)) ] Это упростится до: [ 3a + 3b + 3c + 3d_1 + 3d_2 + 3d_3 ] [ = 3(a + b + c + d_1 + d_2 + d_3) ]

Поскольку мы знаем, что (a + c + d_1 + d_3 = 446), нам нужно выразить (b + d_2) или определить его другим способом. Заметим, что, поскольку каждая строка и каждый столбец образуют арифметическую прогрессию, (b = a + d_1) и (d_2 = d_1), а также (d_3 = d_1), если предположить симметрию прогрессий.

Подставив (b = a + d_1), (d_2 = d_1), (d_3 = d_1), получаем: [ a + c + d_1 + d_1 = 446 ] Отсюда: [ a + c + 2d_1 = 446 ]

Таким образом, общая сумма всех чисел: [ 3(446 + b + d_2) = 3 \cdot 446 = 1338 ]

Вопрос 2:

Нам необходимо определить, сколько существует целых чисел (x), таких что (x^5 - x) не делится на 30.

Заметим, что (x^5 - x) всегда делится на 5 и на 2, так как по малой теореме Ферма для любого целого числа (x), (x^5 \equiv x \pmod{5}) и (x^5 \equiv x \pmod{2}).

Таким образом, (x^5 - x) делится как минимум на 10 (2 и 5). Осталось выяснить делимость на 3.

По малой теореме Ферма, (x^3 \equiv x \pmod{3}), следовательно, (x^5 \equiv x \cdot x^2 \equiv x \pmod{3}).

Это говорит о том, что (x^5 - x) также делится на 3.

Следовательно, (x^5 - x) делится на 30 для любого целого (x), и таких (x), для которых (x^5 - x) не делится на 30, не существует.

Ответ: 0.

1. Пусть числа в таблице образуют арифметическую прогрессию со знаменателем d. Тогда угловые числа таблицы будут равны a, a+d, a+2d, a+6d, a+7d, a+8d, где a - первое число прогрессии. Из условия задачи получаем систему уравнений: a + a+d + a+2d + a+6d = 892 a + a+d + a+7d + a+8d = 892 a + a+2d + a+6d + a+8d = 892 a+d + a+2d + a+7d + a+8d = 892

Решив данную систему уравнений, найдем a, d и сложим все числа в таблице для получения суммы.

1. Для того чтобы число x5 - x не делилось на 30 без остатка, оно должно быть не кратно 2, 3 и 5 одновременно. Поэтому рассмотрим случаи, когда x5 - x кратно одному из этих чисел:
   • x кратно 2: x5 - x = x(x4 - 1) = x(x2 + 1)(x2 - 1) = x(x+1)(x-1)(x2+1), значит x не кратно 2;
   • x кратно 3: x5 - x = x(x4 - 1) = x(x2 + 1)(x2 - 1) = x(x+1)(x-1)(x2+1), значит x не кратно 3;
   • x кратно 5: x5 - x = x(x4 - 1) = x(x2 + 1)(x2 - 1) = x(x+1)(x-1)(x2+1), значит x не кратно 5. Таким образом, число x5 - x не делится на 30 без остатка, если x не кратно 2, 3 и 5 одновременно. Подсчитаем количество целых чисел x, удовлетворяющих этому условию.

1. Сумма всех чисел таблицы равна 2676.

2. Существует бесконечное количество целых чисел x, таких что x5 - x не делится на 30 без остатка.