1. Решите уравнение: 2sin в квадратеx-sinx-1=0

Решим уравнение ( 2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0 ).

Это квадратное уравнение относительно (\sin x). Введём замену: ( y = \sin x ). Тогда уравнение перепишется как:

[ 2y^2 - y - 1 = 0. ]

Для решения квадратного уравнения можно использовать формулу корней квадратного уравнения:

[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ]

где ( a = 2 ), ( b = -1 ), ( c = -1 ).

Подставим значения в формулу:

[ y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2}. ]

[ y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}. ]

[ y = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4}. ]

[ y = \frac{1 \pm 3}{4}. ]

Теперь найдём корни:

1. ( y_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1 ).
2. ( y_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} ).

Вернёмся к замене ( y = \sin x ).

1. Для ( y_1 = 1 ): (\sin x = 1).

   Решением является ( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi ), где ( k ) — целое число.

2. Для ( y_2 = -\frac{1}{2} ): (\sin x = -\frac{1}{2}).

   Решения в этом случае: ( x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi ) и ( x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi ), где ( k ) — целое число.

Таким образом, общее решение данного тригонометрического уравнения:

[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, ] [ x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi, ] [ x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, ]

где ( k ) — любое целое число.

Для решения уравнения 2sin^2(x) - sin(x) - 1 = 0 сначала заметим, что данное уравнение является квадратным относительно sin(x). Обозначим sin(x) за t, тогда уравнение примет вид 2t^2 - t - 1 = 0.

Далее, найдем корни данного квадратного уравнения. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта D = b^2 - 4ac, где a = 2, b = -1 и c = -1. Подставив значения, получим D = 1 + 8 = 9.

Так как D > 0, у уравнения есть два корня. Найдем их, используя формулу корней квадратного уравнения: t1,2 = (-b ± √D) / 2a. Подставив значения, получим два корня: t1 = (1 + 3) / 4 = 1 и t2 = (1 - 3) / 4 = -0.5.

Теперь, зная корни уравнения, мы можем найти значения sin(x). Поскольку sin(x) = t, то sin(x) = 1 и sin(x) = -0.5. Однако, по определению синуса, его значения лежат в пределах [-1, 1]. Следовательно, решением уравнения 2sin^2(x) - sin(x) - 1 = 0 будет sin(x) = 1.

Таким образом, решением данного уравнения будет sin(x) = 1.

2sin^2(x) - sin(x) - 1 = 0

Для решения данного уравнения можно воспользоваться методом подстановки. Представим sin(x) в виде t и решим квадратное уравнение относительно t:

2t^2 - t - 1 = 0

Далее найдем корни этого уравнения и подставим их обратно в sin(x), чтобы найти значения x.