1. Решите уравнения: а) корень(x^2-4x) = корень (6-3x) b)корень(3x+1)=x-1 c)2 корень (x) - корень в...

Давайте разберём каждый из вопросов подробно.

1. Решение уравнений

а) (\sqrt{x^2 - 4x} = \sqrt{6 - 3x})

Начнём с возведения обеих частей уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

[ x^2 - 4x = 6 - 3x ]

Переносим все члены на одну сторону:

[ x^2 - 4x + 3x - 6 = 0 ]

Упрощаем:

[ x^2 - x - 6 = 0 ]

Это квадратное уравнение можно решить методом разложения на множители:

[ (x - 3)(x + 2) = 0 ]

Таким образом, (x = 3) или (x = -2).

Необходимо проверить оба корня в исходном уравнении:

• Для (x = 3): (\sqrt{3^2 - 4 \cdot 3} = \sqrt{6 - 3 \cdot 3} \Rightarrow 0 = 0).
• Для (x = -2): (\sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot (-2)} = \sqrt{6 - 3 \cdot (-2)} \Rightarrow \sqrt{12} = \sqrt{12}).

Оба корня подходят. Ответ: (x = 3) и (x = -2).

b) (\sqrt{3x + 1} = x - 1)

Возводим обе части уравнения в квадрат:

[ 3x + 1 = (x - 1)^2 ]

Раскрываем скобки:

[ 3x + 1 = x^2 - 2x + 1 ]

Переносим все члены на одну сторону:

[ x^2 - 5x = 0 ]

Решаем уравнение методом вынесения общего множителя:

[ x(x - 5) = 0 ]

Таким образом, (x = 0) или (x = 5).

Проверяем оба корня:

• Для (x = 0): (\sqrt{3 \cdot 0 + 1} = 0 - 1 \Rightarrow 1 \neq -1) (не подходит).
• Для (x = 5): (\sqrt{3 \cdot 5 + 1} = 5 - 1 \Rightarrow \sqrt{16} = 4).

Только (x = 5) является подходящим решением. Ответ: (x = 5).

c) (2\sqrt{x} - \sqrt[4]{x} = 1)

Пусть (y = \sqrt{x}). Тогда (\sqrt[4]{x} = \sqrt{y}), и уравнение становится следующим:

[ 2y - \sqrt{y} = 1 ]

Пусть (z = \sqrt{y}). Тогда (y = z^2), и уравнение становится:

[ 2z^2 - z = 1 ]

Переносим всё на одну сторону:

[ 2z^2 - z - 1 = 0 ]

Решаем квадратное уравнение:

[ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

где (a = 2), (b = -1), (c = -1). Подставляем:

[ z = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4} ]

Получаем (z = 1) или (z = -\frac{1}{2}) (второе значение не подходит, так как (z = \sqrt{y} \geq 0)).

Если (z = 1), то (y = 1), следовательно, (\sqrt{x} = 1), значит, (x = 1).

Проверка: (2 \cdot 1 - 1 = 1). Ответ: (x = 1).

d) (\sqrt{x} + \sqrt{x - 3} = 3)

Пусть (\sqrt{x} = a), тогда (\sqrt{x - 3} = b), и уравнение становится:

[ a + b = 3 ]

Также у нас есть:

[ a^2 = x, \quad b^2 = x - 3 ]

Из второго уравнения:

[ b^2 = a^2 - 3 ]

Подставляем (b = 3 - a) в это уравнение:

[ (3 - a)^2 = a^2 - 3 ]

Раскрываем скобки и упрощаем:

[ 9 - 6a + a^2 = a^2 - 3 ]

Сокращаем (a^2):

[ 9 - 6a = -3 ]

Переносим:

[ 12 = 6a \quad \Rightarrow \quad a = 2 ]

Если (a = 2), то (\sqrt{x} = 2), отсюда (x = 4).

Проверка: (\sqrt{4} + \sqrt{4 - 3} = 2 + 1 = 3). Ответ: (x = 4).

2. Определение значений функции (y = \sqrt[3]{x^2 - 1})

Нам нужно найти такие (x), при которых (y = 2):

[ \sqrt[3]{x^2 - 1} = 2 ]

Возведем обе стороны в куб:

[ x^2 - 1 = 8 ]

Добавляем 1 обеим сторонам:

[ x^2 = 9 ]

Решаем уравнение:

[ x = \pm 3 ]

Итак, функция принимает значение 2 при (x = 3) или (x = -3). Ответ: (x = 3) и (x = -3).

1. а) x = 2 b) x = 2 c) x = 1 d) x = 4

2. Функция y принимает значение 2 при x = -1 и x = 1.

1. a) Извлекаем корни из обеих сторон уравнения: √(x^2 - 4x) = √(6 - 3x) x^2 - 4x = 6 - 3x x^2 + x - 6 = 0 (x + 3)(x - 2) = 0 x = -3 или x = 2

b) Извлекаем корни из обеих сторон уравнения: √(3x + 1) = x - 1 3x + 1 = (x - 1)^2 3x + 1 = x^2 - 2x + 1 x^2 - 5x = 0 x(x - 5) = 0 x = 0 или x = 5

c) Извлекаем корни из обеих сторон уравнения: 2√(x) - √(x^4) = 1 2√(x) - x^2 = 1 x^4 - 4x + 1 = 0 (x^2 - 2)^2 = 0 x = √2

d) Извлекаем корни из обеих сторон уравнения: √(x) + √(x - 3) = 3 x + 2√(x(x-3)) + x - 3 = 9 2√(x^2 - 3x) = 12 - 2x √(x^2 - 3x) = 6 - x x^2 - 3x = (6 - x)^2 x^2 - 3x = 36 - 12x + x^2 9x = 36 x = 4

1. y = √(x^2 - 1)^(1/3) = 2 (x^2 - 1)^(1/3) = 8 x^2 - 1 = 8^3 x^2 - 1 = 512 x^2 = 513 x = ±√513

Таким образом, значения x, при которых функция y = √(x^2 - 1)^(1/3) принимает значение, равное 2, равны ±√513.