1. Решите неравенство : а) 2х - 3 > 3х + 1 б) х(х + 2 ) > ( х + 3 )(х - 1) в) х²-4х>(х-2)²...

1. а) x < -4 б) x < -3 или x > 1 в) x < 2

2. а) x < -4 б) x > 5

3. а) x < -1 или x > 3 б) -5 < x < -1 в) x < 3 или x > 3

4. Наибольшее целое решение: x = 4

Давайте решим предложенные неравенства и системы неравенств по порядку:

1. Решение неравенств:

а) (2x - 3 > 3x + 1)

Переносим все члены на одну сторону: [2x - 3x > 1 + 3] [-x > 4] [x < -4]

б) (x(x + 2) > (x + 3)(x - 1))

Раскроем скобки: [x^2 + 2x > x^2 + 3x - 3x + 3] [x^2 + 2x > x^2 + 3] [2x > 3] [x > \frac{3}{2}]

в) (x^2 - 4x > (x - 2)^2)

Раскроем скобку справа: [x^2 - 4x > x^2 - 4x + 4] [0 > 4] - это неравенство неверно, следовательно, нет решений.

2. Решение систем неравенств:

а) (\left{\begin{array}{l} 3x + 12 > 0 \ 2x - 3 < 0 \end{array}\right.)

Решаем каждое неравенство: [3x + 12 > 0 \Rightarrow x > -4] [2x - 3 < 0 \Rightarrow x < \frac{3}{2}]

Итак, решение системы: (-4 < x < \frac{3}{2})

б) (\left{\begin{array}{l} 3x + 2 > 2x - 3 \ x - 5 > 0 \end{array}\right.)

[3x - 2x > -3 - 2 \Rightarrow x > -5] [x > 5]

Итак, решение системы: (x > 5)

3. Решение неравенств:

а) (x^2 - 2x - 3 > 0)

Факторизуем: [(x - 3)(x + 1) > 0]

Решения: (x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty))

б) (x^2 + 4x + 5 < 0)

Дискриминант квадратного уравнения: [D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0]

Так как дискриминант отрицательный и коэффициент при (x^2) положительный, то выражение всегда больше 0. Нет решений.

в) (x^2 - 6x + 9 > 0)

[x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 > 0]

Решение: (x \neq 3), (x \in (-\infty, 3) \cup (3, \infty))

4. Наибольшее целое решение:

[ \frac{1}{3}x - 2 < 2x - \frac{1}{3}, \quad x^2 < 12]

Переносим все члены: [\frac{1}{3}x - 2x < -\frac{1}{3} + 2] [-\frac{5}{3}x < \frac{5}{3}] [x > -1]

Теперь учитываем (x^2 < 12). Решениями будут значения (x) в пределах (-\sqrt{12} < x < \sqrt{12}), то есть (-3.46 < x < 3.46).

Совмещая обе части, получаем (-1 < x < 3.46). Наибольшее целое значение (x), удовлетворяющее обоим условиям, это (x = 3).

1. а) 2x - 3 > 3x + 1 Переносим все переменные на одну сторону: 2x - 3x > 1 + 3 -x > 4 x < -4

б) x(x + 2) > (x + 3)(x - 1) Раскрываем скобки: x^2 + 2x > x^2 + 3x - x - 3 Упрощаем: 2x > 3 x > 1.5

в) x^2 - 4x > (x - 2)^2 Раскрываем скобки: x^2 - 4x > x^2 - 4x + 4 Упрощаем: 0 > 4 Неравенство неверно, так как нельзя получить 0 > 4.

2. а) 3x + 12 > 0 3x > -12 x > -4

2x - 3 < 0 2x < 3 x < 1.5 Ответ: -4 < x < 1.5

б) 3x + 2 > 2x - 3 3x - 2x > -3 - 2 x > -5

x - 5 > 0 x > 5 Ответ: x > 5

3. а) x^2 - 2x - 3 > 0 Формула дискриминанта: D = b^2 - 4ac D = 2^2 - 41(-3) = 4 + 12 = 16 Так как D > 0, то уравнение имеет два корня. x1 = (2 + √16) / 2 = (2 + 4) / 2 = 3 x2 = (2 - √16) / 2 = (2 - 4) / 2 = -1 Ответ: x < -1 или x > 3

б) x^2 + 4x + 5 < 0 Формула дискриминанта: D = b^2 - 4ac D = 4^2 - 415 = 16 - 20 = -4 Так как D < 0, то уравнение не имеет действительных корней. Ответ: нет действительных корней

в) x^2 - 6x + 9 > 0 Раскрываем скобки: (x - 3)^2 > 0 Так как квадрат всегда неотрицательный, то неравенство верно для всех действительных x.

1. 1/3x - 2 < 2x - 1/3 Переносим все переменные на одну сторону: 1/3x - 2x < 1/3 - 2 -5/3x < -5/3 x > 1 Проверяем условие x^2 < 12: 1^2 < 12 1 < 12 Удовлетворяет условию. Наибольшее целое решение неравенства: x = 1.