1) решить уравнение 3cos2x-5sinx+1=0 2)Отобрать корни на [pi; 5pi/2]

Для решения уравнения (3\cos 2x - 5\sin x + 1 = 0), нужно сначала упростить его, используя тригонометрические тождества.

Шаг 1: Упростим уравнение

Мы знаем, что (\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x). Подставим это в уравнение:

[ 3(1 - 2\sin^2 x) - 5\sin x + 1 = 0 ]

Упростим:

[ 3 - 6\sin^2 x - 5\sin x + 1 = 0 ]

[ -6\sin^2 x - 5\sin x + 4 = 0 ]

Чтобы решить это уравнение, введём замену: ( t = \sin x ). Тогда уравнение становится квадратным:

[ -6t^2 - 5t + 4 = 0 ]

Шаг 2: Решим квадратное уравнение

Для решения квадратного уравнения используем формулу корней:

[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Где (a = -6), (b = -5), (c = 4). Подставляя значения, получаем:

[ t = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot (-6) \cdot 4}}{2 \cdot (-6)} ]

[ t = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 96}}{-12} ]

[ t = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{-12} ]

[ t = \frac{5 \pm 11}{-12} ]

Получаем два корня:

1. (t_1 = \frac{5 + 11}{-12} = -\frac{16}{12} = -\frac{4}{3}) (не подходит, так как (|\sin x| \leq 1))
2. (t_2 = \frac{5 - 11}{-12} = \frac{-6}{-12} = \frac{1}{2})

Таким образом, (\sin x = \frac{1}{2}).

Шаг 3: Найдем (x)

(\sin x = \frac{1}{2}) соответствует углам (x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k) и (x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k), где (k) — целое число.

Шаг 4: Отбор корней на отрезке ([\pi, \frac{5\pi}{2}])

1. Для (x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k):

   • При (k = 1), (x = \frac{\pi}{6} + 2\pi \cdot 1 = \frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{13\pi}{6})
   • При (k = 2), (x = \frac{\pi}{6} + 2\pi \cdot 2 = \frac{\pi}{6} + \frac{24\pi}{6} = \frac{25\pi}{6}) (не подходит, так как больше ( \frac{5\pi}{2} ))

2. Для (x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k):

   • При (k = 0), (x = \frac{5\pi}{6}) (не попадает в отрезок ([\pi, \frac{5\pi}{2}]))
   • При (k = 1), (x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot 1 = \frac{5\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{17\pi}{6})

Итак, на отрезке ([\pi, \frac{5\pi}{2}]) решением являются (x = \frac{13\pi}{6}) и (x = \frac{17\pi}{6}).

1) Для решения уравнения 3cos2x - 5sinx + 1 = 0 можно воспользоваться тригонометрическими тождествами и методами решения систем уравнений. Начнем с того, что заменим cos2x через cosx и sinx с помощью формулы двойного угла: cos2x = 1 - 2sin^2(x). Теперь у нас есть уравнение вида 3(1 - 2sin^2(x)) - 5sinx + 1 = 0, которое можно упростить до -6sin^2(x) - 5sinx + 4 = 0. Далее, проведем замену переменной: t = sinx, что приведет к уравнению -6t^2 - 5t + 4 = 0. Решив это квадратное уравнение, получим корни t1 и t2. После этого найдем sinx = t1 и sinx = t2, что даст нам значения x.

2) Для отбора корней на интервале [π; 5π/2] подставим найденные значения x в данном интервале и выберем только те, которые удовлетворяют условию.

1) x = pi/6 + 2pik, x = 5pi/3 + 2pik

2) x = 3pi/2