1.) При каких значениях параметра m уравнение 4х^2 - 2mx + 9 = 0 имеет 2 различных корня? 2.) Решить...

1) Для того чтобы уравнение 4x^2 - 2mx + 9 = 0 имело 2 различных корня, дискриминант должен быть положительным. Дискриминант равен D = (-2m)^2 - 449 = 4m^2 - 144. Таким образом, нам нужно найти значения параметра m, при которых 4m^2 - 144 > 0. Решаем неравенство: 4m^2 - 144 > 0 => m^2 > 36 => m < -6 или m > 6.

2) Для решения неравенства x^2 - 14x + 3

Конечно, давайте рассмотрим каждый из вопросов по порядку.

1. При каких значениях параметра ( m ) уравнение ( 4x^2 - 2mx + 9 = 0 ) имеет 2 различных корня?

Для того чтобы квадратное уравнение ( 4x^2 - 2mx + 9 = 0 ) имело два различных корня, его дискриминант должен быть положительным.

Стандартная форма квадратного уравнения — ( ax^2 + bx + c = 0 ). В нашем случае:

• ( a = 4 )
• ( b = -2m )
• ( c = 9 )

Дискриминант ( D ) для квадратного уравнения вычисляется по формуле: [ D = b^2 - 4ac ]

Подставляем наши значения: [ D = (-2m)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 ] [ D = 4m^2 - 144 ]

Чтобы уравнение имело два различных корня, дискриминант должен быть больше нуля: [ 4m^2 - 144 > 0 ] [ 4m^2 > 144 ] [ m^2 > 36 ]

Следовательно, ( m ) должно быть таковым, чтобы ( m^2 > 36 ). Это означает: [ |m| > 6 ] Или: [ m > 6 \text{ или } m < -6 ]

Таким образом, уравнение ( 4x^2 - 2mx + 9 = 0 ) имеет два различных корня при ( m > 6 ) или ( m < -6 ).

2. Решить методом интервала: ( x^2 - 14x + 3 \leq 0 )

Сначала решим соответствующее квадратное уравнение ( x^2 - 14x + 3 = 0 ). Для этого найдем корни уравнения с помощью дискриминанта.

[ a = 1, \quad b = -14, \quad c = 3 ]

Дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 196 - 12 = 184 ]

Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm \sqrt{184}}{2} = \frac{14 \pm 2\sqrt{46}}{2} = 7 \pm \sqrt{46} ]

Корни ( x_1 = 7 - \sqrt{46} ) и ( x_2 = 7 + \sqrt{46} ).

Метод интервалов:

• Корни разбивают ось ( x ) на три интервала:
  • ( (-\infty, 7 - \sqrt{46}) )
  • ( (7 - \sqrt{46}, 7 + \sqrt{46}) )
  • ( (7 + \sqrt{46}, +\infty) )

Знак квадратичной функции на каждом интервале определяется знаком коэффициента при ( x^2 ) (в данном случае, это положительное значение), и пересечением с корнями.

Рассмотрим значения на интервалах:

• На интервале ( (-\infty, 7 - \sqrt{46}) ) функция положительна.
• На интервале ( (7 - \sqrt{46}, 7 + \sqrt{46}) ) функция отрицательна.
• На интервале ( (7 + \sqrt{46}, +\infty) ) функция положительна.

Так как нам нужно, чтобы ( x^2 - 14x + 3 \leq 0 ), то: [ x \in [7 - \sqrt{46}, 7 + \sqrt{46}] ]

3. Решить неравенство: ( (x+3)(x-5)(x-7) < 0 )

Для решения неравенства ( (x+3)(x-5)(x-7) < 0 ) также используем метод интервалов.

Корни уравнения: ( x = -3 ), ( x = 5 ), ( x = 7 ).

Эти корни разбивают числовую ось на четыре интервала:

• ( (-\infty, -3) )
• ( (-3, 5) )
• ( (5, 7) )
• ( (7, +\infty) )

Определим знаки на каждом интервале:

• На интервале ( (-\infty, -3) ): все три множители отрицательные, произведение отрицательное.
• На интервале ( (-3, 5) ): выбираем точку, например, ( x = 0 ): [ (0+3)(0-5)(0-7) = 3 \cdot (-5) \cdot (-7) = 105 > 0 ]
• На интервале ( (5, 7) ): выбираем точку, например, ( x = 6 ): [ (6+3)(6-5)(6-7) = 9 \cdot 1 \cdot (-1) = -9 < 0 ]
• На интервале ( (7, +\infty) ): все три множители положительные, произведение положительное.

Неравенство ( (x+3)(x-5)(x-7) < 0 ) выполняется на интервалах, где произведение отрицательное: [ x \in (-\infty, -3) \cup (5, 7) ]

Таким образом, решение неравенства: [ x \in (-\infty, -3) \cup (5, 7) ]

Надеюсь, это поможет вам!