1. Постройте график функции y=-x^2+2x+3 и найдите , используя график: а) нули функции б) промежутки...

Построение графика функции ( y = -x^2 + 2x + 3 )

1. Постройте график функции ( y = -x^2 + 2x + 3 )

   Эта функция является квадратичной и имеет вид ( y = ax^2 + bx + c ), где ( a = -1 ), ( b = 2 ), и ( c = 3 ). Парабола открывается вниз, так как ( a < 0 ).

   • Вершина параболы: Координаты вершины ( x ) находятся по формуле ( x = -\frac{b}{2a} ). [ x = -\frac{2}{2 \cdot -1} = 1 ] Подставим ( x = 1 ) в исходное уравнение для нахождения ( y ): [ y = -(1)^2 + 2 \cdot 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 ] Вершина параболы имеет координаты ( (1, 4) ).

   • Нули функции: Найдем нули функции, решив уравнение ( -x^2 + 2x + 3 = 0 ). [ -x^2 + 2x + 3 = 0 ] Решим его с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 3 = 4 + 12 = 16 ] Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot -1} = \frac{-2 \pm 4}{-2} ] [ x_1 = \frac{2 - 4}{-2} = 1, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{-2} = -3 ] Корни функции ( x_1 = -1 ) и ( x_2 = 3 ).

2. Найдите, используя график:

   а) Нули функции: ( x_1 = -1 ) и ( x_2 = 3 ).

   б) Промежутки, в которых ( y > 0 ) и ( y < 0 ):

   • ( y > 0 ): (-1 < x < 3)
   • ( y < 0 ): ( x < -1 ) и ( x > 3 )

   в) Промежутки возрастания и убывания функции:

   • Возрастает на промежутке ( (-\infty, 1) )
   • Убывает на промежутке ( (1, \infty) )

   г) Наибольшее значение функции: Наибольшее значение функции достигается в вершине параболы и равно ( y = 4 ).

   д) Область значения функции: Так как парабола открывается вниз, область значений функции ( y ) ограничена сверху значением вершины и равна ( (-\infty, 4] ).

Анализ функции ( y = 2x^2 + 8x ) без построения графика

1. Нули функции: Найдем нули функции, решив уравнение ( 2x^2 + 8x = 0 ). [ 2x(x + 4) = 0 ] Корни уравнения: [ x = 0 \quad \text{и} \quad x = -4 ]

2. Промежутки возрастания и убывания функции:

   • Найдем производную функции: [ y' = \frac{d}{dx}(2x^2 + 8x) = 4x + 8 ] Найдем критическую точку, решив уравнение ( 4x + 8 = 0 ): [ 4x + 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2 ]
   • Определим знак производной на промежутках: [ \begin{cases} x < -2 & \Rightarrow 4x + 8 < 0 \quad \text{(функция убывает)} \ x > -2 & \Rightarrow 4x + 8 > 0 \quad \text{(функция возрастает)} \end{cases} ]
   • Промежутки:
     • Убывает на ( (-\infty, -2) )
     • Возрастает на ( (-2, \infty) )

3. Область значения функции: Так как функция ( y = 2x^2 + 8x ) является параболой, открытой вверх, и не имеет ограничений по ( y ) внизу, область значений функции: [ (-\infty, \infty) ]

1. а) Нули функции: x = -1, x = 3 б) Промежутки, в которых y>0: (-1, 3), промежутки, в которых y

1. а) Нули функции y=-x^2+2x+3 можно найти, приравняв выражение к нулю и решив квадратное уравнение: -x^2 + 2x + 3 = 0 D = 2^2 - 4(-1)3 = 4 + 12 = 16 x = (-2 ± √16)/(-2) = (-2 ± 4)/(-2) x1 = -1, x2 = 3 Таким образом, нули функции -1 и 3.

б) Промежутки, в которых y>0 и y0 при x∈(-1,3), y