1. Напишите уравнение касательной к графику функции у = f(х) в точке графика с абсциссой х0, если: а)...

1. Уравнение касательной к графику функции в точке графика с абсциссой ( x_0 )

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции ( y = f(x) ) в точке с абсциссой ( x_0 ), нужно использовать формулу:

[ y - f(x_0) = f'(x_0) (x - x_0) ]

где ( f'(x) ) — производная функции ( f(x) ).

а) ( f(x) = x^2 + 6x - 7 ), ( x_0 = -2 )

1. Найдем производную функции ( f(x) ): [ f'(x) = 2x + 6 ]

2. Вычислим значение производной в точке ( x_0 = -2 ): [ f'(-2) = 2(-2) + 6 = -4 + 6 = 2 ]

3. Найдем значение функции в точке ( x_0 = -2 ): [ f(-2) = (-2)^2 + 6(-2) - 7 = 4 - 12 - 7 = -15 ]

4. Составим уравнение касательной: [ y - (-15) = 2(x - (-2)) ] [ y + 15 = 2(x + 2) ] [ y + 15 = 2x + 4 ] [ y = 2x - 11 ]

б) ( f(x) = \cos(x) ), ( x_0 = 1 )

1. Найдем производную функции ( f(x) ): [ f'(x) = -\sin(x) ]

2. Вычислим значение производной в точке ( x_0 = 1 ): [ f'(1) = -\sin(1) ]

3. Найдем значение функции в точке ( x_0 = 1 ): [ f(1) = \cos(1) ]

4. Составим уравнение касательной: [ y - \cos(1) = -\sin(1) (x - 1) ] [ y = -\sin(1)(x - 1) + \cos(1) ]

в) ( f(x) = (x + 2)^2 ), ( x_0 = 2 )

1. Раскроем скобки, чтобы упростить производную: [ f(x) = x^2 + 4x + 4 ]

2. Найдем производную функции ( f(x) ): [ f'(x) = 2x + 4 ]

3. Вычислим значение производной в точке ( x_0 = 2 ): [ f'(2) = 2(2) + 4 = 4 + 4 = 8 ]

4. Найдем значение функции в точке ( x_0 = 2 ): [ f(2) = (2 + 2)^2 = 4^2 = 16 ]

5. Составим уравнение касательной: [ y - 16 = 8(x - 2) ] [ y - 16 = 8x - 16 ] [ y = 8x ]

2. Уравнение касательной к функции ( f(x) = x^3 - 3x^2 - 3x + 5 ), параллельной прямой ( y = -3x + 4 )

Касательная параллельна данной прямой, если её наклон равен наклону данной прямой. Наклон прямой ( y = -3x + 4 ) равен -3.

1. Найдем производную функции ( f(x) ): [ f'(x) = 3x^2 - 6x - 3 ]

2. Приравняем производную к наклону касательной: [ 3x^2 - 6x - 3 = -3 ] [ 3x^2 - 6x = 0 ] [ 3x(x - 2) = 0 ] [ x = 0 \text{ или } x = 2 ]

3. Рассмотрим оба случая:

   • Для ( x = 0 ): [ f(0) = 0^3 - 3(0)^2 - 3(0) + 5 = 5 ] Уравнение касательной: [ y - 5 = -3(x - 0) ] [ y = -3x + 5 ]

   • Для ( x = 2 ): [ f(2) = 2^3 - 3(2)^2 - 3(2) + 5 = 8 - 12 - 6 + 5 = -5 ] Уравнение касательной: [ y + 5 = -3(x - 2) ] [ y + 5 = -3x + 6 ] [ y = -3x + 1 ]

Итак, уравнения касательных: ( y = -3x + 5 ) и ( y = -3x + 1 ).

3. Уравнение касательной к функции ( f(x) = x^2 + 2x - 2 ), проходящей через точку ( A(0, -6) )

1. Найдем производную функции ( f(x) ): [ f'(x) = 2x + 2 ]

2. Уравнение касательной имеет вид: [ y - f(x_0) = f'(x_0) (x - x_0) ]

3. Пусть касательная проходит через точку ( (0, -6) ). Тогда уравнение будет: [ -6 - f(x_0) = f'(x_0) (0 - x_0) ] [ -6 - (x_0^2 + 2x_0 - 2) = (2x_0 + 2)(-x_0) ]

4. Решим уравнение: [ -6 - x_0^2 - 2x_0 + 2 = -2x_0^2 - 2x_0 ] [ -4 = -x_0^2 ] [ x_0^2 = 4 ] [ x_0 = 2 \text{ или } x_0 = -2 ]

5. Рассмотрим оба случая:

   • Для ( x_0 = 2 ): [ f(2) = 2^2 + 2(2) - 2 = 4 + 4 - 2 = 6 ] Уравнение касательной: [ y - 6 = 6(x - 2) ] [ y - 6 = 6x - 12 ] [ y = 6x - 6 ]

   • Для ( x_0 = -2 ): [ f(-2) = (-2)^2 + 2(-2) - 2 = 4 - 4 - 2 = -2 ] Уравнение касательной: [ y + 2 = -2(x + 2) ] [ y + 2 = -2x - 4 ] [ y = -2x - 6 ]

Итак, уравнения касательных: ( y = 6x - 6 ) и ( y = -2x - 6 ).

4. Уравнение общей касательной к функциям ( f(x) = x^2 + 2x + 4 ) и ( g(x) = -x^2 - 1 )

1. Найдем производные функций: [ f'(x) = 2x + 2 ] [ g'(x) = -2x ]

2. Пусть касательная имеет наклон ( k ) и проходит через точки ( (x_1, f(x_1)) ) и ( (x_2, g(x_2)) ). Тогда: [ f'(x_1) = k \rightarrow 2x_1 + 2 = k ] [ g'(x_2) = k \rightarrow -2x_2 = k ]

3. Приравняем наклоны: [ 2x_1 + 2 = -2x_2 ] [ x_1 + 1 = -x_2 ] [ x_1 + x_2 = -1 ]

4. Уравнение касательной для ( f(x) ) в точке ( x_1 ): [ y = k(x - x_1) + f(x_1) ]

5. Уравнение касательной для ( g(x) ) в точке ( x_2 ): [ y = k(x - x_2) + g(x_2) ]

6. Решим систему уравнений: [ f(x_1) = x_1^2 + 2x_1 + 4 ] [ g(x_2) = -x_2^2 - 1 ]

7. Подставим ( x_2 = -x_1 - 1 ): [ g(-x_1 - 1) = -(-x_1 - 1)^2 - 1 ] [ g(-x_1 - 1) = -(x_1^2 + 2x_1 + 1) - 1 ] [ g(-x_1 - 1) = -x_1^2 - 2x_1 - 2 ]

8. Приравняем значения функций: [ x_1^2 + 2x_1 + 4 = -x_1^2 - 2x_1 - 2 ] [ 2x_1^2 + 4x_1 + 6 = 0 ] [ x_1^2 + 2x_1 + 3 = 0 ]

Дискриминант: ( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 )

Уравнение не имеет действительных корней, следовательно, общей касательной не существует.

1. а) Для функции f(x) = x^2 + 6x - 7 в точке x0 = -2 уравнение касательной будет иметь вид y = 2x + 3. б) Для функции f(x) = cos(x) в точке x0 = 1 уравнение касательной будет иметь вид y = -sin(1)(x - 1) + cos(1). в) Для функции f(x) = (x + 2)^2 в точке x0 = 2 уравнение касательной будет иметь вид y = 4(x - 2) + 4.

2. Уравнение касательной к графику функции y = f(x) = x^3 - 3x^2 - 3x + 5, параллельной прямой y = -3x + 4, будет иметь вид y = -3x + 4 + 24.

3. Уравнение касательной к графику функции y = f(x) = x^2 + 2x - 2, проходящей через точку A(0, -6), будет иметь вид y = -6.

4. Уравнение общей касательной к графикам функций y = f(x) = x^2 + 2x + 4 и y = g(x) = -x^2 - 1 будет иметь вид y = x + 3.

1. а) y = -4x - 1 б) y = -sin(1)x + sin(1) в) y = 4x - 4

2. y = 3x + 2

3. y = -2x - 6

4. y = -x - 3