1. найти область определения и множество значений функции : y=sin x/3 y=√cosx(все в корне) 2. исследовать...

1. a) Область определения функции y = sin(x/3) - любое значение x, так как синус определен для всех действительных чисел. Множество значений функции y = sin(x/3) - [-1, 1], так как значение синуса всегда находится в диапазоне от -1 до 1.

b) Область определения функции y = √cos(x) - значения x, при которых cos(x) >= 0, то есть x принадлежит к множеству всех действительных чисел. Множество значений функции y = √cos(x) - [0, 1], так как квадратный корень из неотрицательного числа всегда находится в диапазоне от 0 до 1.

2. a) Функция y = cos(2x) является четной, так как cos(2x) = cos(x)cos(x) - sin(x)sin(x) = cos^2(x) - sin^2(x) = cos^2(x) - (1 - cos^2(x)) = 2cos^2(x) - 1, что равно cos(2x). b) Функция y = cos(x) + x^4 не является ни четной, ни нечетной.

1. Функция y = sin(x/4) является периодической с периодом 8п, так как sin(x) имеет период 2п, а здесь x/4, что увеличивает период в 4 раза.

2. Принадлежащие отрезку 0;3п корни уравнения cos(x) = √2/2: x = π/4 и x = 7π/4.

3. Принадлежащие отрезку -0.5п;2.5п решения неравенства sin(x) ≤ 1/2: x ∈ [-π/6, 5π/6].

Давайте разберем каждый из вопросов по очереди:

1. Область определения и множество значений функции

a) ( y = \frac{\sin x}{3} )

• Область определения: Функция (\sin x) определена для всех действительных чисел, поэтому ( y = \frac{\sin x}{3} ) также определена для всех ( x \in \mathbb{R} ).

• Множество значений: Значения (\sin x) лежат в интервале ([-1, 1]). Таким образом, ( y = \frac{\sin x}{3} ) принимает значения в интервале ([-1/3, 1/3]).

b) ( y = \sqrt{\cos x} )

• Область определения: (\cos x \geq 0), чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Это условие выполняется, когда ( x ) принадлежит интервалам вида ([2k\pi - \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{\pi}{2}]), где ( k \in \mathbb{Z} ).

• Множество значений: Поскольку (\cos x) изменяется от 0 до 1 в указанных интервалах, то (\sqrt{\cos x}) изменяется от 0 до 1. Таким образом, множество значений функции — ([0, 1]).

2. Исследование функций на четность или нечетность

a) ( y = \cos 2x )

• Проверка четности: Функция четная, если ( f(-x) = f(x) ).

  [ \cos(2(-x)) = \cos(-2x) = \cos 2x ]

  Так как условие выполняется, функция ( y = \cos 2x ) является четной.

b) ( y = \cos x + x^4 )

• Проверка четности:

  [ f(-x) = \cos(-x) + (-x)^4 = \cos x + x^4 = f(x) ]

  Так как условие выполняется, функция ( y = \cos x + x^4 ) также является четной.

3. Периодичность функции ( y = \frac{\sin x}{4} )

• Функция ( y = \sin x ) имеет период ( 2\pi ).
• При делении аргумента на 4, период увеличивается в 4 раза, таким образом, период функции ( y = \sin \frac{x}{4} ) равен ( 8\pi ).

4. Корни уравнения ( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} ) на отрезке ( [0, 3\pi] )

• Решения уравнения (\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}) соответствуют ( x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi ) и ( x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi ).

• Подставляем ( k = 0 ) и ( k = 1 ), чтобы найти корни в пределах ( [0, 3\pi] ):

  [ x = \frac{\pi}{4}, \quad x = \frac{7\pi}{4}, \quad x = \frac{9\pi}{4} ]

5. Решения неравенства ( \sin x \leq \frac{1}{2} ) на отрезке ([-0.5\pi, 2.5\pi])

• Решаем уравнение (\sin x = \frac{1}{2}), имеем ( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi ) и ( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi ).
• Для (\sin x \leq \frac{1}{2}) подходят промежутки: ([-0.5\pi, \frac{\pi}{6}] \cup [\frac{5\pi}{6}, 2.5\pi]).

Таким образом, решения неравенства на отрезке ([-0.5\pi, 2.5\pi]) — это все значения ( x ) в указанных промежутках.