1) Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t^2- 13t+23, где х- расстояние до точки отсчета в метрах, t- время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени ( в секундах) ее скорость была равна 3 м/с? 2) Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 1/3t^3 - t^2 - 5t+3, где х- расстояние до точки отсчета в метрах, t- время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени ( в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?
1) Для определения момента времени, когда скорость материальной точки была равна 3 м/с, необходимо найти производную функции x(t) и приравнять ее к 3.
x(t) = t^2 - 13t + 23 v(t) = dx/dt = 2t - 13
Теперь приравняем скорость к 3 м/с и найдем значение времени:
2t - 13 = 3 2t = 16 t = 8
Таким образом, скорость материальной точки была равна 3 м/с в момент времени t = 8 секунд.
2) Для определения момента времени, когда скорость материальной точки была равна 2 м/с, необходимо найти производную функции x(t) и приравнять ее к 2.
x(t) = 1/3t^3 - t^2 - 5t + 3 v(t) = dx/dt = t^2 - 2t - 5
Теперь приравняем скорость к 2 м/с и найдем значение времени:
t^2 - 2t - 5 = 2 t^2 - 2t - 7 = 0 (t - 3)(t + 1) = 0
Таким образом, скорость материальной точки была равна 2 м/с в момент времени t = 3 секунды.
Для решения этих задач необходимо найти скорость материальной точки, которая является первой производной от функции положения ( x(t) ) по времени ( t ).
1) Для первой задачи, функция положения задана как ( x(t) = t^2 - 13t + 23 ).
Найдем производную ( x'(t) ), которая представляет собой скорость точки:
[ x'(t) = \frac{d}{dt}(t^2 - 13t + 23) = 2t - 13 ]
Теперь приравняем скорость к 3 м/с и решим уравнение:
[ 2t - 13 = 3 ]
[ 2t = 3 + 13 ]
[ 2t = 16 ]
[ t = \frac{16}{2} = 8 ]
Таким образом, скорость материальной точки была равна 3 м/с в момент времени ( t = 8 ) секунд.
2) Для второй задачи, функция положения задана как ( x(t) = \frac{1}{3}t^3 - t^2 - 5t + 3 ).
Найдем производную ( x'(t) ):
[ x'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{3}t^3 - t^2 - 5t + 3\right) = t^2 - 2t - 5 ]
Приравняем скорость к 2 м/с и решим уравнение:
[ t^2 - 2t - 5 = 2 ]
[ t^2 - 2t - 5 - 2 = 0 ]
[ t^2 - 2t - 7 = 0 ]
Это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы квадратного уравнения:
[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
где ( a = 1 ), ( b = -2 ), ( c = -7 ).
[ t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2 \cdot 1} ]
[ t = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 28}}{2} ]
[ t = \frac{2 \pm \sqrt{32}}{2} ]
[ t = \frac{2 \pm 4\sqrt{2}}{2} ]
[ t = 1 \pm 2\sqrt{2} ]
Это дает два решения: ( t = 1 + 2\sqrt{2} ) и ( t = 1 - 2\sqrt{2} ). Поскольку время не может быть отрицательным, принимаем ( t = 1 + 2\sqrt{2} ).
Таким образом, скорость материальной точки была равна 2 м/с в момент времени ( t = 1 + 2\sqrt{2} ) секунд.
