1-2/(tg a+ctg a), если cos a - sin a= 1/3

Чтобы решить выражение (1 - \frac{2}{\tan a + \cot a}) при условии (\cos a - \sin a = \frac{1}{3}), нужно провести несколько шагов.

1. Выразим (\tan a + \cot a) через (\sin a) и (\cos a):

   [ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a}, \quad \cot a = \frac{\cos a}{\sin a} ]

   Таким образом:

   [ \tan a + \cot a = \frac{\sin a}{\cos a} + \frac{\cos a}{\sin a} = \frac{\sin^2 a + \cos^2 a}{\sin a \cos a} ]

   Мы знаем, что (\sin^2 a + \cos^2 a = 1), поэтому:

   [ \tan a + \cot a = \frac{1}{\sin a \cos a} ]

2. Найдём (\sin a \cos a) через (\cos a - \sin a = \frac{1}{3}):

   Известно, что:

   [ (\cos a - \sin a)^2 = \cos^2 a - 2\cos a \sin a + \sin^2 a ]

   Поскольку (\cos^2 a + \sin^2 a = 1), то:

   [ (\cos a - \sin a)^2 = 1 - 2\cos a \sin a ]

   Подставим ((\cos a - \sin a)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}):

   [ \frac{1}{9} = 1 - 2\cos a \sin a ]

   [ 2\cos a \sin a = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} ]

   [ \cos a \sin a = \frac{4}{9} ]

3. Подставим (\cos a \sin a = \frac{4}{9}) в (\tan a + \cot a):

   [ \tan a + \cot a = \frac{1}{\sin a \cos a} = \frac{1}{\frac{4}{9}} = \frac{9}{4} ]

4. Рассчитаем исходное выражение:

   [ 1 - \frac{2}{\tan a + \cot a} = 1 - \frac{2}{\frac{9}{4}} ]

   [ = 1 - \frac{2 \times 4}{9} = 1 - \frac{8}{9} ]

   [ = \frac{9}{9} - \frac{8}{9} = \frac{1}{9} ]

Таким образом, значение выражения равно (\frac{1}{9}).

Для начала найдем значения tg a и ctg a, используя уравнение cos a - sin a = 1/3.

cos a = 1 - sin a cos a = 1 - sin a cos a = sqrt(1 - cos^2 a) cos a = sqrt(1 - cos^2 a)

Теперь найдем значение tg a:

tg a = sin a / cos a tg a = sin a / sqrt(1 - cos^2 a) tg a = sqrt(1 - cos^2 a) / cos a

И значение ctg a:

ctg a = cos a / sin a ctg a = sqrt(1 - cos^2 a) / sin a

Теперь подставим найденные значения tg a и ctg a в выражение 1 - 2/(tg a + ctg a):

1 - 2/(sqrt(1 - cos^2 a) / cos a + sqrt(1 - cos^2 a) / sin a) 1 - 2(cos a + sin a) / (sqrt(1 - cos^2 a) (1/cos a + 1/sin a)) 1 - 2(cos a + sin a) / (sqrt(1 - cos^2 a) (sin a + cos a) / (sin a cos a)) 1 - 2(cos a + sin a) / (sqrt(1 - cos^2 a) 1) 1 - 2(cos a + sin a) / sqrt(1 - cos^2 a)

Таким образом, выражение 1 - 2/(tg a + ctg a), при условии cos a - sin a = 1/3, равно 1 - 2(cos a + sin a) / sqrt(1 - cos^2 a).